[論文レビュー] Central limit theorem for a critical multi-type branching process in random environment

Émile Le Page, Marc Peigné+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 19, 2020

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 12被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、ランダム環境下の臨界的多型分岐過程における母集団サイズの対数に関する中心極限定理を確立する。マルティンゲール技法とランダムウォークのフラクチュエーション理論を用いて条件付き過程を分析することで、正規化された対数母集団サイズが分布収束して正規分布に近づくことを証明し、単一型から多型設定への古典的結果の拡張を実現する。臨界性と非可約性の仮定の下で成り立つ。

ABSTRACT

Let (Z n) n$\ge$0 with Z n = (Z n (i, j)) 1$\le$i,j$\le$p be a p multi-type critical branching process in random environment, and let M n be the expectation of Z n given a fixed environment. We prove theorems on convergence in distribution of sequences of branching processes Zn |Mn| /|Z n | > 0 and ln Zn $\sqrt$ n /|Z n | > 0. These theorems extend similar results for single-type critical branching process in random environment.

研究の動機と目的

• ランダム環境下の単一型臨界的分岐過程における古典的中心極限定理を、多型の場合へと拡張すること。
• ランダム環境の変動下で、非絶滅を条件とした多型分岐過程における母集団サイズの対数の漸近的挙動を分析すること。
• ランダム行列理論および関連するマルコフ連鎖のフラクチュエーション特性を活用して、正規化された対数母集団サイズの分布収束を確立すること。
• 複数の粒子型の共同進化をランダム環境効果のもとで考慮することで、単一型プロセスから多型プロセスへの結果の一般化を図ること。
• 適切に正規化された対数母集団サイズの極限分布が、臨界性と非可約性の条件下で正規分布に収束することを証明すること。

提案手法

• 独立同一分布のランダム行列で表される各型の期待母集団サイズに従う、ランダム環境下の多型ギャルトン＝ワトソン過程を用いる。
• 非絶滅を条件とした分布の分析にマルティンゲールアプローチを適用し、全母集団サイズの対数に注目する。
• ランダムウォークのフラクチュエーション理論とランダム行列の積の理論を用いて、期待母集団サイズの経路の漸近的挙動を特徴付ける。
• 時刻nまでの非絶滅を条件付け、正規化された過程の収束を用いたブラウン運動のエクストリーム型極限とのカップリングを用いる。
• スプライン分解とサイズバイアスカップリング技術を用いて、分岐過程の挙動をランダム行列によって駆動されるR^p上のマルコフ連鎖と関連付ける。
• 対数母集団サイズとその条件付き平均との差が確率的にゼロに収束することを証明することで、正規化された対数母集団サイズが正規分布に収束することを示し、スルツキーの補題の適用を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダム環境下の臨界的多型分岐過程における全母集団サイズの対数は、中心極限定理を満たすか？
• RQ2 対数母集団サイズの極限分布は、条件付き平均値の関連するランダムウォークの分布とどのように比較できるか？
• RQ3 ランダム環境に対して一般のモーメント条件および非可約性が成り立つ場合に、正規化された対数母集団サイズの分布収束を確立できるか？
• RQ4 リャプノフ指数とランダム行列の射影的作用は、プロセスの漸近的挙動を決定づける役割を果たすか？
• RQ5 ランダム環境下の単一型臨界的分岐過程の結果を、多型の場合へどの程度まで拡張できるか？

主な発見

• 非絶滅を条件とした正規化された対数母集団サイズは、平均0、分散σ²の正規分布に分布収束する。ここでσは極限ブラウン運動の拡散係数である。
• 時刻nまでの非絶滅確率は、ある明示的な正の定数cを用いて、漸近的にc / √nに等しい。これは単一型結果を多型設定へと拡張する。
• 正規化された対数母集団サイズの極限分布は、正のまま保たれるように条件付けられた関連するランダムウォークと同じ正規分布で特徴づけられ、普遍性原理を確認する。
• 一般のモーメント条件およびランダム行列の射影的作用の非可約性の下で収束が成り立つ。これにより、プロセスが単一の型に退化しないことが保証される。
• 対数母集団サイズとその条件付き期待値との差を√nで正規化した量は、確率的にゼロに収束する。これにより、最終段階でスルツキーの補題を適用することが正当化される。
• 主な技術的結果は、生存確率を√nでスケーリングしたものが、不変測度と極限ブラウン運動の分散を含む定数に収束することである。