[論文レビュー] Central Limit Theorem for empirical transportation cost in general dimension

Eustasio del Barrio, Jean–Michel Loubes|arXiv (Cornell University)|May 3, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 15被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、二次的コストのもとで一般次元 $d \geq 1$ において、経験的輸送コストの機能的中心極限定理（CLT）を確立する。経験的輸送コストの期待値からの正規化された乖離が弱収束し、ガウス分布に収束することを示しており、限界分散は、最小のモーメントおよび滑らかさ条件の下で、最適輸送ポテンシャルを用いて明示的に特徴付けられる。

ABSTRACT

We consider the problem of optimal transportation with quadratic cost between a empirical measure and a general target probability on R d , with d $\ge$ 1. We provide new results on the uniqueness and stability of the associated optimal transportation potentials , namely, the minimizers in the dual formulation of the optimal transportation problem. As a consequence, we show that a CLT holds for the empirical transportation cost under mild moment and smoothness requirements. The limiting distributions are Gaussian and admit a simple description in terms of the optimal transportation potentials.

研究の動機と目的

• 二次的コストのもとで、$\mathbb{R}^d$ 上の経験測度と標的確率測度の間の経験的輸送コストに対する中心極限定理（CLT）を確立すること。
• 正規化された輸送コストの限界ガウス分布を、最適輸送ポテンシャルの観点から特徴付けること。
• 有限モーメントおよび標的測度の滑らかさという最小限の仮定の下で、分散の上限を提供し、漸近的正規性を確立すること。
• 二つの経験測度、すなわち $\mathcal{W}_2^2(P_n, Q_m)$ の場合へのCLTの拡張。
• 統計的応用における重要なギャップを埋めるために、一般測度に対して輸送コストの分布極限を提供すること、これは以前は得られていなかった。

提案手法

• 最適輸送問題の双対表現を用いて、双対目的関数の最小化子としての最適輸送ポテンシャルを定義・分析する。
• Efron-Stein不等式を適用して、経験測度の摂動に対して安定するように、経験的輸送コストの分散上限を導出する。
• 真の最適ポテンシャル $z_0$ の周囲での線形化を用い、delta法により $\sqrt{n}(\mathcal{W}_2^2(P_n, Q) - \mathcal{W}_2^2(P, Q))$ がガウス変数に弱収束することを示す。
• 経験的ポテンシャル $z_n$ が真のポテンシャル $z_0$ にほとんど確実に収束することを用いて、スケーリングされたコスト差の漸近的正規性を正当化する。
• 限界分散を $\sigma^2(P,Q) = \text{Var}\left(\sum_{i=1}^k U_i(\|x_i\|^2 - 2z_{0,i})\right)$ として導出する。ここで $U$ は、多項分布の頻度から導かれる共分散行列を持つ中心化ガウスベクトルである。
• 標的測度 $Q$ が $L^{4+\delta}$ 積分可能であるという弱いモーメント条件の下で、経験的コストが理論的コストに収束することを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の $P$ および $Q$ に対して、$\mathbb{R}^d$ 上で、経験的輸送コスト $\mathcal{W}_2^2(P_n, Q)$ は一般条件下で中心極限定理を満たすか？
• RQ2 $P$ および $Q$ が一般の確率測度であるとき、$\sqrt{n}(\mathcal{W}_2^2(P_n, Q) - \mathcal{W}_2^2(P, Q))$ の限界分布は何か？
• RQ3 輸送コストの限界分散を最適輸送ポテンシャルの観点から明示的に特徴付けられるか？
• RQ4 $P = Q$ のとき、経験的コストの漸近的挙動はどのように変化し、$\sqrt{n}$ 速度でのCLTは依然有効か？
• RQ5 一般次元 $d \geq 1$ において、経験的輸送コストのCLTが有効となるモーメントおよび滑らかさ条件は何か？

主な発見

• $\sqrt{n}(\mathcal{W}_2^2(P_n, Q) - \mathcal{W}_2^2(P, Q))$ に対して中心極限定理が成り立ち、限界分布はガウス分布である。
• 限界ガウス分布は平均がゼロで、分散 $\sigma^2(P,Q)$ であり、これは、経験的頻度から導かれるガウスベクトルの線形関数の分散として明示的に特徴付けられる。
• 弱収束 $\sqrt{n}(\mathcal{W}_2^2(P_n, Q) - \mathcal{W}_2^2(P, Q)) \to \sum_{i=1}^k U_i(\|x_i\|^2 - 2z_{0,i})$ が成り立ち、ここで $U$ は共分散行列 $\Sigma$ を持つ中心化ガウスベクトルである。
• $Q$ が $L^{4+\delta}$ 積分可能である限り、経験的輸送コストの分散に対して $n \cdot \text{Var}(\mathcal{W}_2^2(P_n, Q)) \to \sigma^2(P,Q)$ が成り立つ。
• 一般に、$\mathcal{W}_2^2(P,Q)$ を $\mathbb{E}[\mathcal{W}_2^2(P_n, Q)]$ の代わりにCLTに用いることはできない。特に $P = Q$ の場合、高次元では $n^{-2/d}$ の速度で減少するためである。
• $P = Q$ で $d \geq 5$ のとき、$\sqrt{n}(\mathcal{W}_2^2(P_n, Q) - \mathbb{E}[\mathcal{W}_2^2(P_n, Q)]) \to 0$ が確率的に成り立ち、$\sqrt{n}$ 速度が退化していることを示しており、非退化極限を得るには別のスケーリングが必要である可能性を示唆している。