[論文レビュー] Central Limit Theorem for Nonlinear Hawkes Processes

Lingjiong Zhu|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2012

Point processes and geometric inequalities被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、弱い正則性条件の下で非線形 Hawkes プロセスに対して機能的中心極限定理（FCLT）および Strassen の不変性原理を確立する。正規化された計数過程が弱収束してブラウン運動に近づくことを証明し、線形 Hawkes プロセスに限られていた古典的極限定理を非線形ケースへ拡張する。漸近的分散は強度関数と励起カーネルを用いて明示的に特徴付けられる。

ABSTRACT

Hawkes process is a self-exciting point process with clustering effect whose intensity depends on its entire past history. It has wide applications in neuroscience, finance and many other fields. In this paper, we obtain a functional central limit theorem for nonlinear Hawkes process. Under the same assumptions, we also obtain a Strassen's invariance principle, i.e. a functional law of the iterated logarithm.

研究の動機と目的

• 線形 Hawkes プロセスに限って以前に確立された極限定理を非線形ケースへ拡張すること。
• 移行・出生表現が存在しないことによる、非線形 Hawkes プロセスのための取り扱い可能な極限定理の欠如に対処すること。
• 非線形 Hawkes プロセスに対して機能的中心極限定理（FCLT）および Strassen の不変性原理を確立すること。
• 正規化された計数過程の漸近的分散を強度関数および励起カーネルの観点から特徴付けること。
• ファイナンスや神経科学などの応用分野における統計的推論およびモデリングの理論的基盤を提供すること。

提案手法

• 計数過程 $ N_t $ のマルティンゲール分解を用い、予測可能補正項と平均ゼロのマルティンゲールの和として表現する。
• 非線形 Hawkes プロセスの長距離依存性および非マルコフ構造に対処するため、ミキシングレ型分解を採用する。
• スコロホド位相における $ D[0,1] $ 上の弱収束基準を用いて、ミキシングレ列に対する機能的中心極限定理を適用する。
• Brémaud と Massoulié に従い、レート関数 $ \nu \lambda(\cdot) $ が $ \alpha $-リプシッツで $ \alpha \|h\|_{L^1} < 1 $ を満たす条件の下で、定常的かつエルゴード的解の存在と一意性を確立する。
• 集合 $ \eta_n = \sum_{j=n}^\infty \mathbb{E}[N(j,j+1] - \mu \mid \mathcal{F}^{-\infty}_{n+1}] $ を用いて、定常的かつエルゴード的で平均ゼロの列 $ Y_n $ を定義し、不変性原理への適用を可能にする。
• 条件付き強度が正の確率集合で異なることを利用してカップリング論法により漸近的分散 $ \sigma^2 $ の正の性質を証明し、退化しないフラクチュエーションを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形構造を有さない移行・出生表現を欠く非線形 Hawkes プロセスに対し、機能的中心極限定理を確立できるか？
• RQ2 非線形 Hawkes プロセスの正規化された計数過程が、どのような条件下で弱収束してブラウン運動に近づくか？
• RQ3 FCLT と同一の仮定の下で、Strassen の不変性原理（機能的反復対数法則）が非線形 Hawkes プロセスに成立するか？
• RQ4 非線形 Hawkes プロセスの極限定理における漸近的分散の明示的形は何か？
• RQ5 強度関数の非線形性は、線形ケースと比較して収束速度および分布的極限にどのような影響を及えるか？

主な発見

• 非線形 Hawkes プロセスに対して機能的中心極限定理が成立する：$ \frac{N_{\cdot t} - \cdot \mu t}{\sqrt{t}} \Rightarrow \sigma B(\cdot) $ は $ D[0,1] $ 上の分布収束であり、$ B(\cdot) $ は標準ブラウン運動である。
• 漸近的分散 $ \sigma^2 $ は正かつ有限であり、$ \sigma^2 = \mathbb{E}[Y_1^2] $ と表される。ここで $ Y_n $ はプロセスの補正項から導かれる定常的かつエルゴード的で平均ゼロのミキシングレ列である。
• 同一の条件下で Strassen の不変性原理が成立し、正規化されたプロセスは機能的反復対数法則を満たす。
• $ \sigma^2 $ の正の性質は、条件付き強度が正の確率集合で異なることから示され、非退化したフラクチュエーションが保証される。
• 古典的極限定理（以前は線形 Hawkes プロセスに限って知られていた）が非線形ケースへ拡張され、理論的枠組みが著しく拡張された。
• 分散はレート関数 $ \lambda(\cdot) $ のリプシッツ定数、励起カーネル $ h $ の $ L^1 $-ノルム、および定常強度 $ \mu $ に依存するが、正確な式は $ \sigma^2 = \mathbb{E}[Y_1^2] $ を超えて明示的に計算されていない。