[論文レビュー] Central limit theorem for products of toral automorphisms

Jean-Pierre Conze, Stéphane Le Borgne+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2010

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$SL(d,\mathbb{Z})$ に属する行列によって定義されるトーラス自己同型の積に沿って評価された Hölder-連続関数の和について、クエンチド中心極限定理（CLT）を確立する。行列集合 $\mathcal{A}$ が近接性および完全非可約性を満たす条件下で、$\mathbb{P}$-ほとんど everywhere の行列列に対して、正規化された和が正の分散を持つ正規分布に分布収束することを証明し、乗法的システムとスペクトルギャップ技術を用いて収束速度を特定する。

ABSTRACT

Let $(τ_n)$ be a sequence of toral automorphisms $τ_n : x ightarrow A_n x \hbox{mod}\ZZ^d$ with $A_n \in {\cal A}$, where ${\cal A}$ is a finite set of matrices in $SL(d, \mathbb{Z})$. Under some conditions the method of "multiplicative systems" of Komlòs can be used to prove a Central Limit Theorem for the sums $\sum_{k=1}^n f(τ_k \circ τ_{k-1} \cdots \circ τ_1 x)$ if $f$ is a Hölder function on $\mathbb{T}^d$. These conditions hold for $2 imes 2$ matrices with positive coefficients. In dimension $d$ they can be applied when $A_n= A_n(ω)$, with independent choices of $A_n(ω)$ in a finite set of matrices $\in SL(d, \mathbb{Z})$, in order to prove a "quenched" CLT.

研究の動機と目的

• ランダムなトーラス自己同型の合成によって駆動される力学系におけるクエンチド中心極限定理を確立すること。
• 正規化された和が、行列列に関してほとんど確実に正規分布に収束する条件を特定すること。
• このような和の正規分布への収束速度を定量化すること。
• SL(d,\mathbb{Z}) 上のランダムウォークに関する結果を、トーラス上での非 i.i.d. 力学系の文脈に拡張すること。
• 正規化された和の分散を解析し、非ゼロ関数に対してほとんど確実に正であることを証明すること。

提案手法

• Komlòs が当初開発した乗法的システムの手法を用いて、正規化された和の特性関数を制御する。
• Guivarc’h と Raugi の結果を用いて、SL(d,\mathbb{Z}) 上のランダムウォークにおけるスペクトルギャップ推定値を適用し、相関の崩壊を制御する。
• トーラス上のフーリエ解析を用い、行列積の作用下でのフーリエ係数の進化を追跡する。
• 特性関数を異なる周波数成分に対応する項の積に分解することで、スケールの分離を可能にする。
• 指数的モーメントの上限と特性関数 $\mathbb{E}[e^{ix S_n / \|S_n\|_2}]$ の推定値を用い、それをガウス特性関数 $e^{-x^2/2}$ と比較する。
• 濃度不等式と切断技術を用いて、特性関数のガウス近似における誤差を制御する。特に $|x|\delta \leq 1$ の条件下で有効である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの条件下で、$\mathbb{P}$-ほとんどすべての行列列に対して、正規化された和 $\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{k=1}^n f(\tau_k \circ \cdots \circ \tau_1 x)$ が正規分布に分布収束するか？
• RQ2 この正規化された和の正規分布への収束速度は何か？
• RQ3 非ゼロの Hölder 関数 $f$ に対して、$\sigma(f)^2 = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \|S_n(f)\|_2^2$ として定義される分散はどのように振る舞うか？
• RQ4 行列列がランダムであるが初期点 $x$ が固定されている場合、クエンチドCLTは確立可能か？
• RQ5 SL(d,\mathbb{Z}) 上のランダムウォークのスペクトル的性質がCLTの成立に果たす役割は何か？

主な発見

• $\mathbb{P}$-ほとんどすべての列 $\omega$ に対して、ゼロ平均の非ゼロ Hölder 関数 $f$ について、$\sigma(f) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \|S_n(f)\|_2$ が存在し、かつ正である。
• 正規化された和 $\frac{1}{\sigma(f)\sqrt{n}} \sum_{k=1}^n f(\tau_k(\omega) \circ \cdots \circ \tau_1(\omega) \cdot)$ は分布収束して $\mathcal{N}(0,1)$ に収束する。
• 正規分布への収束は、特性関数の差 $|\mathbb{E}[e^{ix S_n / \|S_n\|_2}] - e^{-x^2/2}|$ に対する境界によって、収束速度が定量的に特定される。
• 証明は、SL(d,\mathbb{Z}) 上のランダムウォークにおける $L^2_0$ におけるスペクトルギャップに依存しており、相関の指数的崩壊を保証する。
• 同じ条件下で、Hölder 関数およびトーラス上の正規集合の特性関数に対しても結果が成り立つ。
• 主な技術的革新は、特に $|x|\delta \leq 1$ の領域において、特性関数を制御するための乗法的システムと周波数の分離の使用にある。