[論文レビュー] Central limit theorems for additive functionals of ergodic Markov diffusions processes

Patrick Cattiaux, Djalil Chafaï+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2011

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 30被引用数 30

ひとこと要約

本稿は、一般の無限小生成作用素に関する条件下で、定常的でない（非可逆的・退化・ゆっくり混合）マルコフ拡散過程の加法的関数への機能中心極限定理（FCLT）を確立する。マルティングール近似と最近の均衡への収束解析の進展を活用し、平衡および非平衡初期分布の両方においてFCLTが成り立つための取り扱いやすい条件を提示する。これは古典的結果を異常収束速度を示す広いクラスの拡散過程へと拡張するものである。

ABSTRACT

We revisit functional central limit theorems for additive functionals of ergodic Markov diffusion processes. Translated in the language of partial differential equations of evolution, they appear as diffusion limits in the asymptotic analysis of Fokker-Planck type equations. We focus on the square integrable framework, and we provide tractable conditions on the infinitesimal generator, including degenerate or anomalously slow diffusions. We take advantage on recent developments in the study of the trend to the equilibrium of ergodic diffusions. We discuss examples and formulate open problems.

研究の動機と目的

• 可逆かつ高速混合のケースにとどまらず、定常的マルコフ拡散過程の加法的関数への機能中心極限定理（FCLT）を拡張すること。
• FCLTの有効性を保証する、取り扱いやすく検証可能な無限小生成作用素に関する条件を提示すること、特に退化またはゆっくり混合の状況を含むこと。
• 初期分布が平衡分布に限定されない場合（例えば、ディラック分布 $ \delta_x $ または不変測度に関して絶対連続な分布）に対してもFCLTを確立すること。これにより、従来の平衡初期分布に限った結果を一般化すること。
• 重尾または指数的でない不変測度をもつ拡散過程における、異常な収束速度（例えば、指数的またはべき乗的減衰）がFCLTの収束速度に与える影響を分析すること。

提案手法

• 無限小生成作用素 $ L $ に対して $ Lg = f $ を満たす関数 $ g $ を解くことにより、マルティングール近似を用いる。
• 定常過程における中心極限定理のKipnis-Varadhan枠組みを、非可逆的かつ非一様定常的拡散過程に適応する。
• リャプノフ型基準と弱Poincaré不等式を用いて、均衡への収束度合いと混合速度を定量的に評価する。
• 一様強線形性とポテンシャルの良好な振る舞いに依存する半群アプローチにより、有限時刻における分布と不変測度との全 Variation 距離を評価する。
• マルティングール成分の二次変動の漸近的挙動を分析し、加法的関数の分散と比較する。
• 時間スケーリングの手続きを用いて、FCLTをスコロホド位相における弱収束問題に還元し、有限次元分布の収束を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限小生成作用素にどのような条件下で、定常的拡散過程の加法的関数が機能中心極限定理（FCLT）を満たすか？
• RQ2 FCLTは、$ \delta_x $ や不変測度に関して絶対連続な分布といった非平衡初期分布に対しても拡張可能か？
• RQ3 異常な混合速度（例えば、指数的でないまたはべき乗的減衰）は、FCLTの収束速度にどのような影響を及えるか？
• RQ4 弱Poincaré不等式とリャプノフ関数は、拡散過程におけるFCLTの有効性および収束速度とどのように関係するか？
• RQ5 加法的関数の分散が時間に対して線形より遅く増大する場合、FCLTはいつ成立するか？

主な発見

• FCLTは、非可逆的・退化的状況を含む一般の無限小生成作用素に関する条件下で、定常的拡散過程の加法的関数に対して成立する。
• 一様強線形性をもつ拡散過程で、不変測度 $ \mu(dx) = e^{-W(x)}dx $ をもつ場合、条件 $ 2\Gamma(W,W) - LW \geq -c $ が成り立つと、一様定常性が保証され、FCLTが成立する。
• 初期分布 $ \nu $ が $ \nu \ll \mu $ または $ \nu = \delta_x $（$ \mu $-ほとんど everywhere な $ x $ に対して）である限り、FCLTは非平衡初期分布に対しても成立する。ただし $ f $ は有界または連続であること。
• 分散 $ \mathrm{Var}(S_t) $ が線形より遅く増大する場合に異常な収束速度が生じる。本稿では、$ \int (g_T)^2 d\mu / \mathrm{Var}(S_t) $ の振る舞いによってそのような状況を同定する。
• 指数的でないまたはコーシー型の不変測度をもつ拡散過程では、分散正規化が部分線形的に増大するが、極限過程は依然としてブラウン運動のままである。
• 初期分布 $ \nu $ に対して $ P_t^*\nu \ll \mu $ となる $ t > 0 $ が存在し、$ f $ が連続であれば、$ \mathbb{P}_\mu $ でのFCLTが成立する限り、$ \mathbb{P}_\nu $ に対してもFCLTが成立する。