[論文レビュー] Central limit theorems for functionals of large sample covariance matrix and mean vector in matrix-variate location mixture of normal distributions

Taras Bodnar, Stepan Mazur+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2016

Random Matrices and Applications参考文献 42被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、高次元の行列変量位置混合正規分布（MVLMN）の下で、標本共分散行列と平均ベクトルを含む双線形形式に関する中心極限定理（CLT）を確立する。大次元漸近的枠組み（$p/n \to c \in [0, \infty)$）において、$\mathbf{l}^\top S\mathbf{x}$ および $\mathbf{l}^\top S^{-1}\mathbf{x}$ の漸近的分布を導出し、共分散行列が特異であってもこれらの形式が正規分布に収束することを示す。主な貢献は、古典的なCLTを理論的・数値的妥当性を伴って、より一般化され、非対称的かつ相関のあるデータモデルへと拡張したことである。

ABSTRACT

In this paper we consider the asymptotic distributions of functionals of the sample covariance matrix and the sample mean vector obtained under the assumption that the matrix of observations has a matrix-variate location mixture of normal distributions. The central limit theorem is derived for the product of the sample covariance matrix and the sample mean vector. Moreover, we consider the product of the inverse sample covariance matrix and the mean vector for which the central limit theorem is established as well. All results are obtained under the large-dimensional asymptotic regime where the dimension $p$ and the sample size $n$ approach to infinity such that $p/n o c\in[0 , +\infty)$ when the sample covariance matrix does not need to be invertible and $p/n o c\in [0, 1)$ otherwise.

研究の動機と目的

• 標本共分散行列および平均ベクトルの関数的形に対する古典的中心極限定理（CLT）を、柔軟で非楕円的分布モデルを想定した高次元設定へと拡張すること。
• 行列変量位置混合正規（MVLMN）分布の下で、双線形形式 $\mathbf{l}^\top S\mathbf{x}$ および $\mathbf{l}^\top S^{-1}\mathbf{x}$ の漸近的理論を構築すること。これは、歪正規分布や成長曲線モデルを一般化する。
• 標本共分散行列が特異であっても、$p, n \to \infty$ かつ $p/n \to c \in [0, \infty)$ となる高次元漸近的枠組みにおいてCLTを確立すること。
• 混合変数 $\nu$ の分布として、切り捨て正規分布や一般化非対称ラプラス分布を含むさまざまな分布を想定し、モンテカルロシミュレーションを用いて理論的結果を検証すること。

提案手法

• 半パラメトリックな行列変量位置混合正規（MVLMN）モデルを提案：$\mathbf{X} \stackrel{d}{=} \mathbf{Y} + \mathbf{B}\boldsymbol{\nu}^\top$、ここで $\mathbf{Y} \sim N_{p,n}(\boldsymbol{\mu}\mathbf{1}_n^\top, \boldsymbol{\Sigma} \otimes \mathbf{I}_n)$ かつ $\boldsymbol{\nu}$ は密度関数 $f_\nu$ を持つ一般の確率的ベクトル。
• MVLMNモデル下での標本平均 $\mathbf{x}$ および標本共分散 $\mathbf{S}$ の正確な確率的表現を導出し、このモデル下では $\mathbf{x}$ と $\mathbf{S}$ が独立であることを示す。
• 確率的表現を用いて $\mathbf{l}^\top \mathbf{S}\mathbf{x}$ のCLTを確立し、$\chi^2_{n-1}$、正規、およびガウス変数を含む表現を用い、モデルのパラメータから導かれる漸近的分散を導出する。
• 条件 $p/n \to c \in [0,1)$ の下で、$\chi^2_{n-p}$ および $F$ 分布変数を含む表現を用いて $\mathbf{l}^\top \mathbf{S}^{-1}\mathbf{x}$ のCLTを導出する。この際、歪度および高次元性を反映した漸近的分散を導出する。
• モンテカルロシミュレーションを用いて、両方の形式 $\sqrt{n}\sigma^{-1}_\nu(\mathbf{l}^\top \mathbf{S}\mathbf{x} - \mathbf{l}^\top \boldsymbol{\Sigma} \boldsymbol{\mu}_\nu)$ および $\sqrt{n}\tilde{\sigma}^{-1}_\nu(\mathbf{l}^\top \mathbf{S}^{-1}\mathbf{x} - \frac{1}{1-c}\mathbf{l}^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1}(\boldsymbol{\mu} + \mathbf{B}\boldsymbol{\omega}))$ の漸近正規性を検証する。
• 核密度推定法を用い、エパネニコフ帯域幅と交差検証を組み合わせ、シミュレートされた分布と理論的漸近正規分布を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 MVLMNモデル下で高次元漸近的枠組みにおいて、積 $\mathbf{l}^\top \mathbf{S}\mathbf{x}$ は正規分布に収束するか？
• RQ2 共分散行列 $\mathbf{S}$ が特異であっても、$p/n \to c \in [0,1)$ の下で、積 $\mathbf{l}^\top \mathbf{S}^{-1}\mathbf{x}$ は中心極限定理を満たすか？
• RQ3 混合分布 $f_\nu$ の選択（例：切り捨て正規分布や一般化非対称ラプラス分布）に対して、漸近正規近似はどれほど頑健か？
• RQ4 理論的CLTが、有限標本において正確にシミュレートされ、検証可能か？

主な発見

• 高次元的枠組み $p/n \to c \in [0, \infty)$ の下で、$\sqrt{n}\sigma^{-1}_\nu(\mathbf{l}^\top \mathbf{S}\mathbf{x} - \mathbf{l}^\top \boldsymbol{\Sigma} \boldsymbol{\mu}_\nu)$ の漸近的分布は、標準正規分布 $N(0,1)$ に分布収束する。
• $\mathbf{l}^\top \mathbf{S}^{-1}\mathbf{x}$ に関しては、$p/n \to c \in [0,1)$ かつ $q/n \to \gamma > 0$ の下で、漸近的分布 $\sqrt{n}\tilde{\sigma}^{-1}_\nu\left(\mathbf{l}^\top \mathbf{S}^{-1}\mathbf{x} - \frac{1}{1-c}\mathbf{l}^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1}(\boldsymbol{\mu} + \mathbf{B}\boldsymbol{\omega})\right)$ は $N(0,1)$ に収束する。
• $\mathbf{l}^\top \mathbf{S}^{-1}\mathbf{x}$ の漸近的分散 $\tilde{\sigma}^2$ は、明示的に $\frac{1}{(1-c)^3}\left(\left(\mathbf{l}^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1}(\boldsymbol{\mu} + \mathbf{B}\boldsymbol{\omega})\right)^2 + \mathbf{l}^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1}\mathbf{l}(1 + (\boldsymbol{\mu} + \mathbf{B}\boldsymbol{\omega})^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1}(\boldsymbol{\mu} + \mathbf{B}\boldsymbol{\omega}))\right)$ として導出された。
• モンテカルロシミュレーションにより、$c = 0.95$ に対しても、$\mathbf{l}^\top \mathbf{S}\mathbf{x}$ および $\mathbf{l}^\top \mathbf{S}^{-1}\mathbf{x}$ の漸近正規近似が正確であることが確認され、高次元設定において頑健であることが示された。
• 有限標本では理論的漸近分布がわずかに歪度を示すが、特に $\boldsymbol{\nu}$ に対して一般化非対称ラプラス分布を用いた場合に顕著であり、$n$ および $p$ が増加するにつれて歪度は減少する。
• 提案されたCLTは、標本共分散行列が可逆である必要がなく、古典的なCLTが失敗する特異的かつ高次元的設定にも適用可能である。