[論文レビュー] Central limit theorems for high dimensional dependent data

Jinyuan Chang, Xiaohong Chen+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2021

Statistical Methods and Inference参考文献 73被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、α-混合、m-依存、物理的依存の枠組みにおいて、高次元の従属確率ベクトルに対する非漸近的ガウス近似バウンドを確立し、先行研究よりも高速な収束速度を導出する。また、カーネル型長期共分散推定を用いたデータ駆動型パラメトリックブートストラップを導入し、依存構造に関する構造的仮定なしに、ℓ2およびℓ∞-型統計量、変化点検出、高次元時系列における信頼領域の有効な推論を可能にする。

ABSTRACT

Motivated by statistical inference problems in high-dimensional time series data analysis, we first derive non-asymptotic error bounds for Gaussian approximations of sums of high-dimensional dependent random vectors on hyper-rectangles, simple convex sets and sparsely convex sets. We investigate the quantitative effect of temporal dependence on the rates of convergence to a Gaussian random vector over three different dependency frameworks ($α$-mixing, $m$-dependent, and physical dependence measure). In particular, we establish new error bounds under the $α$-mixing framework and derive faster rate over existing results under the physical dependence measure. To implement the proposed results in practical statistical inference problems, we also derive a data-driven parametric bootstrap procedure based on a kernel estimator for the long-run covariance matrices. We apply the unified Gaussian and bootstrap approximation results to test mean vectors with combined $\ell^2$ and $\ell^\infty$ type statistics, change point detection, and construction of confidence regions for covariance and precision matrices, all for time series data.

研究の動機と目的

• 一般の時系列的依存構造の下で、高次元の従属確率ベクトルに対する非漸近的ガウス近似バウンドを構築すること。
• 時系列的依存が高次元中心極限定理における収束速度に与える影響を定量化すること。
• 物理的依存測度の下で、既存の結果と比較してより高速な収束速度を確立すること。
• カーネル型長期共分散推定を用いたデータ駆動型パラメトリックブートストラップ手順を開発すること。
• スパarsityや弱い依存性を仮定しない状況でも、平均ベクトル、変化点、共分散/精度行列に関する有効な統計的推論を可能にすること。

提案手法

• α-混合、m-依存、物理的依存の3つの依存フレームワークの下で、超長方形、単純な凸集合、スパースに凸な集合の領域におけるガウス近似の非漸近的誤差バウンドを導出する。
• 投影に基づくアプローチとモーメント不等式を用いて依存構造を制御し、物理的依存測度とα-混合係数を活用する。
• データ駆動型パラメトリックブートストラップ手順を可能にするために、長期共分散行列のカーネル型推定量を導入する。
• ホルダーの不等式とモーメント条件を用いて、経験的共分散行列と真の共分散行列の∞-ノルム差をバウンドする。
• バイアスと分散の項のバランスを取るために、適切な切り捨てパラメータMとバンド幅bnを選択することで収束速度を確立する。
• カップリングされたマルティングル・ディファレンスアプローチと集中不等式を用いて、ブートストラップ近似における尾確率を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 α-混合の下で、高次元の従属データのガウス近似に対する非漸近的誤差バウンドは何か？
• RQ2 α-混合および物理的依存フレームワークにおいて、高次元CLTにおける収束速度は、時系列的依存の強さにどのように依存するか？
• RQ3 物理的依存測度の下で、既存の結果と比較してより高速な収束速度を達成できるか？
• RQ4 一般の依存構造を有する高次元時系列に対して、データ駆動型パラメトリックブートストラップをどのように構築できるか？
• RQ5 提案されたフレームワークは、平均ベクトル、変化点、共分散/精度行列に関する推論にどのような意味を持つか？

主な発見

• α-混合フレームワーク下で、新しい誤差バウンドがOp{B₂ₙn⁻ᶜ¹(log p)ᶜ²} + O(B₂ₙn⁻ᵖ)のオーダーで確立され、既存の結果を改善する。
• 物理的依存測度の下では、収束速度が先行研究を上回り、Op{B₂ₙn⁻ᶜ¹(log p)ᶜ²} + O(n⁻ᵖΨ₂,₀Ψ₂,α̟ₙ)のオーダーで達成される。ここで、̟ₙ = (log n)I(α=1) + n¹⁻ᵃI(α≠1)である。
• m-依存列の場合は、収束速度がOp{B₂ₙn⁻ᶜ¹(log p)ᶜ²} + O(B₂ₙm²n⁻ᵖ)で与えられ、mは依存スパンを表す。
• カーネル型長期共分散推定に基づくデータ駆動型パラメトリックブートストラップ手順は、豊富な集合のクラスにわたる一様な近似誤差バウンドを達成し、依存構造に関する構造的仮定なしに有効な推論を可能にする。
• このフレームワークは、ℓ²およびℓ∞-型統計量、変化点検出、高次元時系列における共分散および精度行列の信頼領域に関する推論を支援する。
• 収束速度は、log p = o(nᶜ̃)を満たすような˜c > 0（依存パrameterに依存）の下で有効であり、高次元漸近論への適用を保証する。