[論文レビュー] Central Limit Theorems for Open Quantum Random Walks and Quantum Measurement Records

Stéphane Attal, Nadine Guillotin‐Plantard+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2012

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、$π^d$ 上のオープン量子ランダムウォーク（OQRW）に対して中心極限定理（CLT）を確立し、特に遷移行列がブロック対角でかつ各チャネルに一意の不変状態があるという条件下で、位置過程が明示的なドリフトおよび共分散行列をもつガウス分布に収束することを証明している。この結果は、量子軌道アプローチを用いて得られ、系を位置空間上のマルコフ連鎖と量子状態の組み合わせとして扱い、完全正値マップを介した量子測定記録に対しても拡張可能である。

ABSTRACT

Open Quantum Random Walks, as developed in \\cite{APSS}, are a quantum generalization of Markov chains on finite graphs or on lattices. These random walks are typically quantum in their behavior, step by step, but they seem to show up a rather classical asymptotic behavior, as opposed to the quantum random walks usually considered in Quantum Information Theory (such as the well-known Hadamard random walk). Typically, in the case of Open Quantum Random Walks on lattices, their distribution seems to always converge to a Gaussian distribution or a mixture of Gaussian distributions. In the case of nearest neighbors homogeneous Open Quantum Random Walks on $\\ZZ^d$ we prove such a Central Limit Theorem, in the case where only one Gaussian distribution appears in the limit. Through the quantum trajectory point of view on quantum master equations, we transform the problem into studying a certain functional of a Markov chain on $\\ZZ^d$ times the Banach space of quantum states. The main difficulty is that we know nothing about the invariant measures of this Markov chain, even their existence. Surprisingly enough, we are able to produce a Central Limit Theorem with explicit drift and explicit covariance matrix. The interesting point which appears with our construction and result is that it applies actually to a wider setup: it provides a Central Limit Theorem for the sequence of recordings of the quantum trajectories associated to any completely positive map. This is what we show and develop as an application of our result. In a second step we are able to extend our Central Limit Theorem to the case of several asymptotic Gaussians, in the case where the operator coefficients of the quantum walk are block-diagonal in a common basis.

研究の動機と目的

• 整数格子 $\mathbb{Z}^d$ 上の最近接隣接・一様なオープン量子ランダムウォークに対して、一意の極限ガウス分布が得られる条件のもとで、中心極限定理を確立すること。
• 基礎となるマルコフ連鎖の不変測度が既知でない場合でも、極限ガウス分布のドリフトおよび共分散行列を明示的に計算すること。
• 量子軌道フレームワークを用いて、任意の完全正値マップに関連する測定記録に対してもCLTを拡張すること。
• 遷移演算子が共通の基底においてブロック対角である場合に、複数の漸近的ガウス分布が生じる状況を分析し、極限過程がOQRW法則の混合であることを示すこと。
• 量子軌道がほとんど確実に、複数の異なる不変状態および関連するガウス極限に対応する複数の異なる漸近的挙動のうちの一つに収束することを示すこと。

提案手法

• 完全正値マップによって制御される遷移をもつ、$\mathbb{Z}^d \times \mathcal{S}(\mathcal{H})$ 上のマルコフ過程としてOQRWをモデル化する。ここで $\mathcal{S}(\mathcal{H})$ は量子状態の空間を表す。
• 量子軌道形式を用いて、測定結果に条件づけられた確率過程としての時間発展を表現し、$\mathbb{Z}^d \times \mathcal{S}(\mathcal{H})$ 上のマルコフ連鎖と関連付ける。
• 量子測定のための大数の法則（定理6.2）を適用し、実現されたジャンプ周波数の平均が不変状態の下での期待値にほとんど確実に収束することを示す。
• 仮定(H3)のもとで、異なる不変状態に付随する測度が特異的であることを確立し、ほとんど確実に一つの漸近的挙動が支配的になることを保証する。
• 関連する量子軌道連鎖のCLTを用いて、条件付き測度 $\mathbb{P}_\rho[\cdot \mid p_\infty^{(j)} = 1]$ の下で $\frac{X_n - n m^{(j)}}{\sqrt{n}}$ が $\mathcal{N}(0, C^{(j)})$ に分布収束することを証明する。
• ブロック対角の場合に結果を拡張し、各成分が固有のドリフト $m^{(j)}$ および共分散 $C^{(j)}$ をもち、混合重み $p_0^{(j)}$ をもつOQRW法則の混合であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 オープン量子ランダムウォークが $\mathbb{Z}^d$ 上で、長時間にわたりガウス分布に収束するための条件は何か？
• RQ2 基礎となるマルコフ連鎖の不変測度が不明であっても、極限ガウス分布のドリフトおよび共分散行列を明示的に計算できるか？
• RQ3 量子軌道形式は、不変測度の知識が欠如している状況でも、OQRWのCLTを導出するためにどのように機能するか？
• RQ4 複数の漸近的ガウス分布が生じる場合、混合重みはどのように決定され、どの成分が極限挙動を支配するか？
• RQ5 この枠組みは、任意の完全正値マップに関連する量子測定記録へどの程度一般化可能か？

主な発見

• 一様で最近接隣接のOQRWについて、$\mathbb{Z}^d$ 上で位置過程 $X_n$ は中心極限定理を満たす：$\frac{X_n - n m}{\sqrt{n}} \xrightarrow{d} \mathcal{N}(0, C)$ であり、$m$ および $C$ は遷移行列から明示的に計算可能である。
• ドリフトベクトル $m^{(j)}$ は $m_k^{(j)} = \mathop{\rm Tr\,}(A_k \rho_\infty^{(j)} A_k^*)$ で与えられ、ここで $\rho_\infty^{(j)}$ はチャネル $\mathcal{L}^{(j)}$ の一意の不変状態である。
• 共分散行列 $C^{(j)}$ は、定理5.2と同様の式に基づき、不変状態の下でのジャンプ演算子の2次モーメントを用いて計算される。
• 遷移行列が共通の基底においてブロック対角である場合、極限分布はガウス分布の混合であり、各成分は異なる不変状態に対応する。
• 過程はほとんど確実に $N$ 通りの可能な漸近的挙動のうちの一つに収束し、$\mathbb{P}_\rho(p_\infty^{(j)} = 1) = p_0^{(j)}$ が成り立ち、$p_\infty^{(j)} = 1$ の条件下での分布は $j$ 番目のチャネルの量子軌道に対応する。
• この結果はOQRWに限らない：完全正値マップを伴う任意の量子マスター方程式における測定記録の系列に対しても、量子軌道フレームワークを介してCLTを提供する。