[論文レビュー] Central limit theorems, Lee-Yang zeros, and graph-counting polynomials

Joel L. Lebowitz, Boris Pittel+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2014

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 31被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、生成多項式の零点の位置を分析することにより、組合せ的・統計力学的系における中心極限定理（CLT）および局所CLTの十分条件を確立する。もしグラフのカウント多項式またはグランドカノニカル分配関数の零点が閉じた左半平面内にあるならば、系のサイズが大きくなるに従い、占有辺数や粒子数は漸近的に正規分布に従い、正の実軸に近い零点の不在と分散の増加率に基づいて明示的な評価が得られる。

ABSTRACT

We consider the asymptotic normalcy of families of random variables $X$ which count the number of occupied sites in some large set. We write $Prob(X=m)=p_mz_0^m/P(z_0)$, where $P(z)$ is the generating function $P(z)=\sum_{j=0}^{N}p_jz^j$ and $z_0>0$. We give sufficient criteria, involving the location of the zeros of $P(z)$, for these families to satisfy a central limit theorem (CLT) and even a local CLT (LCLT); the theorems hold in the sense of estimates valid for large $N$ (we assume that $Var(X)$ is large when $N$ is). For example, if all the zeros lie in the closed left half plane then $X$ is asymptotically normal, and when the zeros satisfy some additional conditions then $X$ satisfies an LCLT. We apply these results to cases in which $X$ counts the number of edges in the (random) set of "occupied" edges in a graph, with constraints on the number of occupied edges attached to a given vertex. Our results also apply to systems of interacting particles, with $X$ counting the number of particles in a box $Λ$ whose size approaches infinity; $P(z)$ is then the grand canonical partition function and its zeros are the Lee-Yang zeros.

研究の動機と目的

• 大規模なグラフにおける占有サイトや辺の数を数える確率変数の族における漸近的正規性の十分条件を確立すること。
• 生成多項式の零点の位置と中心極限定理（CLT）および局所CLT（LCLT）の有効性との関係を確立すること。
• モノマー・ディマーおよびポリマー・モデルからの結果を、より広範なハードコア相互作用系のクラスへ一般化すること。
• 空間的混合性や独立性の仮定に依存しないCLT有効性の零点領域条件を提供すること。
• 一般の相互作用ポテンシャルを有する系へこの手法を拡張し、グランドカノニカル分配関数を伴う統計力学系に応用すること。

提案手法

• 生成関数 $ P(z) = \sum_{m=0}^N p_m z^m $ を用い、$ p_m $ はサイズ $ m $ の許容的配置の数を表す。$ z_0 > 0 $ に対して $ \text{Prob}(X = m) = p_m z_0^m / P(z_0) $ と定義する。
• 確率変数 $ X $ がCLTを満たすための十分条件として、$ P(z) $ のすべての零点が閉じた左半平面内にあること、すなわち零点の位置に関する条件を導出する。
• 分析は、$ z_0 $ のまわりの均一なサイズの円板内に零点がないことと、$ N \to \infty $ のとき $ \text{Var}(X) \gg N^{2/3} $ という分散増加条件に依存する。
• 局所CLTのためには、零点分布に関する追加条件（例えば、一様な分離）が必要であり、これは格子型収束を保証する。
• 辺の占有が頂点毎に制限される（例：$ d_M(v) \in \{0,1,2\} $）グラフカウント多項式にこの手法を適用し、マッチング多項式の一般化を達成する。
• グランドカノニカル分配関数を介して統計力学系へこの手法を拡張し、$ P(z) $ を分配関数と解釈し、その零点をリー＝ヤング零点とみなす。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 生成多項式 $ P(z) $ の零点にどのような条件を課すと、大規模なグラフにおける占有辺数が中心極限定理に従うか？
• RQ2 生成多項式 $ P(z) $ の零点が閉じた左半平面内にあり、追加の正則性条件を満たすとき、グラフカウント多項式に対して局所中心極限定理（LCLT）を確立できるか？
• RQ3 正の実軸の周囲の円板内に零点がないことと、$ X $ の漸近的正規性との関係は何か、特に空間的構造が存在しない場合にどうなるか？
• RQ4 グラフにおける遠く離れた領域の空間的混合性や近似的独立性の仮定に依存せずに、CLTをどれほど一般化できるか？
• RQ5 相互作用ポテンシャルにどのような条件を課すれば、分配関数の零点が $ z_0 $ の近傍を避けることができ、統計力学系におけるCLTの有効性が保証されるか？

主な発見

• 生成多項式 $ P(z) $ のすべての零点が閉じた左半平面内にあるならば、$ N \to \infty $ のとき、占有辺数や粒子数を数える確率変数 $ X $ は漸近的に正規分布に従う。
• 局所中心極限定理（LCLT）を保証するための追加条件として、零点分布の均一な分離や重複零点の不在が有効である。
• CLTは、$ \text{Var}(X) \gg N^{2/3} $ かつ $ P(z) $ が $ z_0 > 0 $ のまわりの均一なサイズの円板に零点を持たないという条件下で成立し、空間的構造のない一般のグラフに対しても成立する。
• ハードコア相互作用（例：$ d_M(v) \in \{0,1,2\} $）を有する系では、この手法により占有辺数の局所CLTが得られる。
• 統計力学において、グランドカノニカル分配関数 $ P(z) $ がリー＝ヤング零点を $ z_0 $ の近傍に持たなければ、CLTの条件を満たし、モノマー・ディマー系に対する既知の結果を一般化する。
• 一般の多体ポテンシャルを有する系に対しても、この手法は適用可能であり、相互作用エネルギーが $ \sup_m \sum_y (1 - e^{-\beta W_+(Y_m|y)}) < \infty $ かつ $ \inf_m V(Y_m|x) > -\infty $ を満たす限り、必要な正値性と減衰性が保証される。