[論文レビュー] Central Lyapunov exponent of partially hyperbolic diffeomorphisms of $\mathbb{T}^3$

Gabriel Ponce, Ali Tahzibi|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2012

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、3次元トーラス 𝕋³ 上に体積保存的で部分的双曲的であるが、Anosov写像にホモトープであるがために、奇妙な振る舞いを示す微分同相写像を構成する。その特徴は、線形化（Anosov写像）では中心方向が収縮するが、非線形写像ではほとんど everywhere で中心のリャプノフ指数が正であるというパラドックス的性質である。線形Anosov写像の系列で、固有値が 0、1、∞ に近づくように選び、Baraviera-Bonattiの局所摂動技法を適用することで、非一様双曲的力学を構成し、中心方向の拡張が線形化の収縮と矛盾する状況を実現した。これは、局所的なリャプノフ指数とグローバルな位相的構造との間の根本的な乖離を示している。

ABSTRACT

In this paper we construct some "pathological" volume preserving partially hyperbolic diffeomorphisms on $ oro{3}$ such that their behaviour in small scales in the central direction (Lyapunov exponent) is opposite to the behavior of their linearization. These examples are isotopic to Anosov. We also get partially hyperbolic diffeomorphisms isotopic to Anosov (consequently with non-compact central leaves) with zero central Lyapunov exponent at almost every point.

研究の動機と目的

• 非線形部分的双曲的微分同相写像の中心リャプノフ指数とその線形化との間の乖離を調査すること。
• 体積保存的でAnosov写像にホモトープな部分的双曲的微分同相写像の例を構成し、線形化が中心方向に収縮するにもかかわらず、中心リャプノフ指数が正であることを示すこと。
• 中心リャプノフ指数がゼロである場合の位相的意味、特に中心葉のコンパクト性に関連して調べること。
• 中心リャプノフ指数が消える場合の中心foliationにおける絶対連続性の役割を検討すること。

提案手法

• 固有値 λᵏˢ → 0、λᵏᶜ → 1、λᵏᵘ → ∞ となるように、𝕋³ 上の線形Anosov写像の系列を用意し、固有ベクトルが固定された正規直交基底に収束するようにする。
• Baraviera-Bonattiの局所C¹摂動法を用いて線形写像を変更し、平均的に正の中心リャプノフ指数を持つ新しい部分的双曲的微分同相写像を構成する。
• 連続性の議論を用いて、中心リャプノフ指数の積分がゼロとなる微分同相写像を見つける。これにより、ほとんど everywhere で指数がゼロとなる。
• HammerlindlとUresの結果に基づき、中心指数がゼロで、かつ非エルゴード的であるならば、Anosov写像にホモトープな微分同相写像は非エルゴード的である必要があることを利用する。
• 適応ノルムを用いて不変な錐族を構成し、小さなC¹ノルムの摂動のもとで、絶対的部分的双曲性の条件が保たれることを示す。
• 歪みが制御された錐領域における一様な拡張・収縮を確認することで、摂動された微分同相写像が絶対的部分的双曲的であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 体積保存的で部分的双曲的である 𝕊³ 上の微分同相写像が、Anosov写像にホモトープであるにもかかわらず、中心リャプノフ指数が正であることは可能か？ これは線形化の収縮とは矛盾する。
• RQ2 部分的双曲的系において、中心葉の位相的性質（コンパクト vs. 非コンパクト）と中心リャプノフ指数の関係は何か？
• RQ3 中心リャプノフ指数がゼロで、中心葉が非コンパクトである部分的双曲的微分同相写像の中心foliationは、必ずしも絶対連続ではないか？
• RQ4 中心リャプノフ指数がほとんど everywhere でゼロである場合、中心foliationの絶対連続性は、葉がコンパクトであることを示唆するか？
• RQ5 非エルゴード的で、体積保存的かつAnosov写像にホモトープな 𝕊³ 上の微分同相写像の例を、中心リャプノフ指数がゼロとなるように構成できるか？

主な発見

• 体積保存的で部分的双曲的である 𝕊³ 上の微分同相写像の開集合が存在し、そのほとんどすべての点で中心リャプノフ指数が正である。これは、線形化が中心方向に収縮するAnosov写像であるにもかかわらず成り立つ。
• 構成された微分同相写像はAnosov写像にホモトープであり、中心方向の漸近的成長方向が線形化とは逆転している。
• 中心リャプノフ指数がほとんど everywhere でゼロで、中心葉が非コンパクトである例を構成した。これは線形化された系とは明確な位相的対比を示している。
• ゼロ指数の例のエルゴード性は未解決であるが、連続性とHammerlindlとUresの結果により、平均指数がゼロであることは確立されている。
• ゼロ指数の例の中心foliationは、非絶対連続であると予想されているが、未だ証明されていない。
• 摂動法により、得られた微分同相写像が絶対的部分的双曲的のままであり、小さなC¹摂動のもとで不変錐構造が保たれることを保証している。