[論文レビュー] Centralizers of C^1-generic diffeomorphisms

Christian Bonatti, Sylvain Crovisier+1 more|ArXiv.org|Oct 2, 2006

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 9被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、次元が2以上のコンパクト多様体上の $C^1$-一般のシンプレクティック同相写像および体積を保存する微分同相写像は、自明な中心化群を持つことを確立している。すなわち、非自明な滑らかな対称性を有しない。$C^1$位相における残渣集合を用い、双曲的周期点における力学的性質を分析することで、これらの微分同相写像の残渣的部分集合に対して、任意の可換な微分同相写像は元の写像の冪でなければならないことを証明し、これらのクラスにおける滑らかな力学における長年の予想を裏付けた。

ABSTRACT

On the one hand, we prove that the spaces of C^1 symplectomorphisms and of C^1 volume-preserving diffeomorphisms both contain residual subsets of diffeomorphisms whose centralizers are trivial. On the other hand, we show that the space of C^1 diffeomorphisms of the circle and a non-empty open set of C^1 diffeomorphisms of the two-sphere contain dense subsets of diffeomorphisms whose centralizer has a sub-group isomorphic to R.

研究の動機と目的

• 次元が2以上のコンパクト多様体上での $C^1$ シンプレクティック同相写像および体積を保存する微分同相写像における自明な中心化群の一般性についてスメールの問いに答えること。
• これらのクラスにおいて、自明な中心化群が $C^1$ 位相で残渣的であることを確立すること。
• 双曲的周期点の近傍における可換な微分同相写像の力学を分析し、中心化群の自明性を導出すること。
• $S^1$ および $S^2$ 上の $C^1$-一般の微分同相写像に対して、中心化群の構造が多様体の性質に応じて自明であるか、$\mathbb{R}$ に同型な部分群を含むかを特定すること。

提案手法

• バナッハ・カテゴリ論法を用いて、$\text{Diff}^1(M)$、$\text{Symp}^1(M)$、$\text{Diff}^1_\mu(M)$ それぞれに対して残渣集合 $\mathcal{R}$、$\mathcal{R}_{\text{symp}}$、$\mathcal{R}_{\mu}$ を構成すること。
• これらの残渣集合に属する $f$ に対して、$f$ と可換な任意の $g$ が、双曲的周期点の安定・不安定多様体上で $f$ の冪として作用することを証明すること。
• 周期的到達可能性性質を用いて、局所的な共役性をグローバルな中心化群の自明性へ拡張すること。
• 局所的アイソトピーおよび生成関数を用いた、部分多様体に台を持つ $C^1$-小な微分同相写像を構成するための、シンプレクティックおよび体積保存的設定における摂動技法を適用すること。
• $C^1$-一般の微分同相写像が、周期点の安定・不安定多様体の閉包において稠密な軌道を持つという事実を活用すること。
• 局所的 $C^1$-シンプレクティック同相写像の拡張結果（補題 A.2）および体積保存的摂動技法（補題 A.4）を用いて、所望の性質を有するグローバルな微分同相写像を構成すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元が2以上のコンパクト多様体上での $C^1$ シンプレクティック同相写像の空間において、自明な中心化群を有する写像の集合は、$C^1$ 位相で残渣的か？
• RQ2 次元が2以上のコンパクト多様体上での $C^1$ 体積保存的微分同相写像の空間において、自明な中心化群を有する写像の集合は、$C^1$ 位相で残渣的か？
• RQ3 $S^1$ および $S^2$ 上の $C^1$-一般の微分同相写像に対して、中心化群の構造は何か？ また、それは自明か、$\mathbb{R}$ に同型か？
• RQ4 $C^1$-一般の微分同相写像の中心化群が、アノソフ的でも Axiom A でもない力学のもとで自明になり得るか？
• RQ5 周期的到達可能性性質は、$C^1$-一般の微分同相写像に対して中心化群を自明にするか？

主な発見

• 任意の次元が2以上のコンパクトかつ連結な多様体 $M$ に対して、$\text{Symp}^1(M)$ 内で自明な中心化群を有する $C^1$ シンプレクティック同相写像の集合は、残渣的である。
• 任意の次元が2以上のコンパクトかつ連結な多様体 $M$ に対して、$\text{Diff}^1_\mu(M)$ 内で自明な中心化群を有する $C^1$ 体積保存的微分同相写像の集合は、残渣的である。
• $S^1$ 上の $C^1$-一般の微分同相写像に対して、周期的到達可能性性質が成り立つ場合、中心化群は自明であるが、一部の場合は $\mathbb{R}$ に同型な部分群を含む。
• $S^2$ 上の $C^1$-一般の微分同相写像に対して、中心化群に $\mathbb{R}$ に同型な部分群を含む稠密な部分集合が存在するため、非自明な対称性が存在することが示唆される。
• $C^1$-一般の微分同相写像が周期的到達可能性性質を満たす場合、その中心化群は自明である。この性質は、1次元中心を持つ部分的双曲的写像および Axiom A 写像において成り立つ。
• 結果は、$\text{Diff}^1_\mu(M)$ 内の残渣集合 $\mathcal{R}_{\mu}$ を用いて確立され、任意の $f \in \mathcal{R}_{\mu}$ に対して、$f$ と可換な任意の $g$ は、各双曲的周期点の安定または不安定多様体上で $f$ の冪として作用することが示された。