[論文レビュー] Centralizers of partially hyperbolic diffeomorphisms in dimension 3

Thomas Barthelmé, Andrey Gogolev|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2019

Mathematical Dynamics and Fractals被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、3次元多様体上の体積保存部分的双曲的微分同相写像の中心化群を分類し、基本群が非- virtually solvable であるセイフェルトまたは双曲的3次元多様体上の離散化アノソフ流れに対して、中心化群が（微分同相写像の冪によって生成される）virtually 環的であるか、または R に類似した構造をしていることを示している。後者の場合、微分同相写像の冪が滑らかなアノソフ流れに埋め込まれる。証明は、[BFFP19] における3次元分類結果を用いて、Damjanovic, Wilkinson, Xu の先行研究を拡張している。

ABSTRACT

In this note we describe centralizers of volume preserving partially hyperbolic diffeomorphisms which are homotopic to identity on Seifert fibered and hyperbolic 3-manifolds. Our proof follows the strategy of Damjanovic, Wilkinson and Xu (arXiv:1902.05201) who recently classified the centralizer for perturbations of time-$1$ maps of geodesic flows in negative curvature. We strongly rely on recent classification results in dimension 3 established in (arXiv:1908.06227).

研究の動機と目的

• 3次元多様体上の体積保存部分的双曲的微分同相写像の中心化群を分類すること、特にセイフェルトおよび双曲的ケースにおいて。
• Damjanovic, Wilkinson, Xu による時間1アノソフ流れの摂動に関する剛性結果を、次元3におけるより広いクラスの離散化アノソフ流れへと拡張すること。
• このような微分同相写像の中心化群が、virtually Z または virtually R である条件を特定し、滑らかなアノソフ流れへの埋め込みを特徴づけること。
• 基本群の役割、特に可解性の仮定が成立せず標準的ツールが機能しないアクセシビリティの失敗が生じる場合の影響を検討すること。
• 基本群が非- virtually solvable である場合、動的同調的かつアクセシブルな体積保存微分同相写像に対して、中心化群が依然として virtually Z または R であり、アノソフ流れへの埋め込みを有することを確立すること。

提案手法

• [BFFP19] における分類結果を活用し、与えられた条件下で微分同相写像の冪が離散化アノソフ流れとなることを示す。
• [DWX19] の戦略を応用するが、中心葉収束の位相的および力学的性質を用いて、3次元設定において重要な補題を強化する。
• 離散化アノソフ流れに対して中心安定および中心不安定葉層が一意的であることを利用し、中心化写像がすべての不変葉層を保存することを示す。
• [BG19] におけるトランスティーブアノソフ流れの自己軌道同値に関する結果を適用し、中心葉層を保存する部分群を除いた中心化群の要素が有限指数であることを示す。
• 中心葉層の絶対連続性とエルゴード性を用いて、分解が滑らかであれば中心化群に完全な1パラメータ族の流れが含まれることを示す。
• アノソフ流れの位相的弱混合性（周期軌道の等分布性を介して）を用いて、有理周期軌道でさえも、微分同相写像が全流れと可換であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元多様体上の体積保存部分的双曲的微分同相写像の中心化群が、いつ virtually 環的となるか。
• RQ2 このような微分同相写像の中心化群が、1パラメータ部分群として R に同型なものを含むのはいつか、そしてこれは力学的挙動にどのような意味を持つのか。
• RQ3 多様体の基本群は、中心化群の構造にどのように影響を与えるか、特に virtually solvable である場合、アクセシビリティが失われ、標準的ツールが機能しなくなる場合に。
• RQ4 セイフェルトまたは双曲的3次元多様体上の離散化アノソフ流れは、いつ滑らかなアノソフ流れに埋め込まれるか、どのような条件下で。
• RQ5 3次元特有の分類ツールを用いて、[DWX19] の剛性結果が一般の離散化アノソフ流れへの次元3への拡張はどの程度可能か。

主な発見

• 非- virtually solvable 基本群をもつ3次元多様体上の体積保存部分的双曲的微分同相写像が離散化アノソフ流れである場合、中心化群は（微分同相写像の冪によって生成される）virtually 環的であるか、または virtually R である。
• 中心化群が virtually R である場合、微分同相写像の冪は滑らかなアノソフ流れに埋め込まれる。
• 恒等写像にホモトープなセイフェルト3次元多様体上では、中心化群は（微分同相写像の冪によって生成される）virtually 環的または virtually R であり、冪がアノソフ流れに埋め込まれる。
• 双曲的3次元多様体上では、動的同調的かつ体積保存部分的双曲的微分同相写像に対して、中心化群は再び（微分同相写像の冪によって生成される）virtually 環的または virtually R であり、冪がアノソフ流れに埋め込まれる。
• トランスティーブアノソフ流れの時間1写像（定数ルーフのサスペンションでないもの）の中心化群は、流れが位相的弱混合であれば virtually R である。
• 証明は、任意に大きな有理または無理周期を持つ周期軌道が稠密であることを利用し、可換性を周期軌道から全流れへと拡張できることに依拠している。