[論文レビュー] CENTRO DE INVESTIGACION Y DE ESTUDIOS AVANZADOS DEL

Investigaciones Anal|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2008

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 58被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、格子手法の代替として、曖昧な空間上での量子場理論（QFT）を非摂動的正則化手法として調査する。3次元の曖昧空間上でのλϕ⁴理論のモンテカルロシミュレーションを実施し、強い結合定数領域におけるUV-IR混合を示す新たな非一様秩序相を発見した。また、CP³からのカーラツァ＝クライン還元を用いた4次元曖昧球面上のスカラー場理論の幾何学的アプローチを構築し、余剰次元を動的に抑制した。

ABSTRACT

This thesis is devoted to the study of Quantum Field Theories (QFT) on fuzzy spaces. Fuzzy spaces are approximations to the algebra of functions of a continuous space by a finite matrix algebra. In the limit of infinitely large matrices the formulation is exact. An attractive feature of this approach is that it transparently shows how the geometrical properties of the continuous space are preserved. In the study of the non-perturbative regime of QFT, fuzzy spaces provide a possible alternative to the lattice as a regularisation method. The thesis is divided into two parts. We perform Monte Carlo simulations of a $\lambda \phi^4$ theory on a 3-dimensional Euclidean space. We identify the phase diagram of this model. In addition to the usual disordered and uniform ordered phases we find a third phase of non-uniform ordering. This indicates the existence of the phenomenon called UV-IR mixing in the strong coupling regime. Second we present a geometrical analysis of the scalar field theory on a 4-dimensional fuzzy sphere, S4_F. Nevertheless a fuzzy version of S4 cannot be achieved by quantisation of the classical space. The problem is circumvented by defining a scalar theory on a larger space, CP3 which is 6-dimensional. It includes degrees of freedom related to S^4 plus others beyond S4. Those extra degrees of freedom are dynamically suppressed through a probabilistic method. The analysis of the geometrical structures allows us to interpret this procedure as a Kaluza-Klein reduction of CP3 to S4.

研究の動機と目的

• 曖昧空間を非摂動的QFTの正則化手法として探求し、格子場理論の代替を提供すること。
• 3次元曖昧ユークリッド空間上でのλϕ⁴理論の相構造を、モンテカルロシミュレーションを用いて調査すること。
• S⁴を直接量子化できないにもかかわらず、4次元曖昧球面（S⁴_F）上に一貫したスカラー場理論を構築すること。
• 高次元空間（CP³）における余剰自由度の動的抑制を幾何学的に解釈し、CP³からS⁴へのカーラツァ＝クライン還元としての次元削減を提示すること。

提案手法

• 3次元の曖昧空間上でのλϕ⁴理論を、場の行列表現と有限次元ヒルベルト空間を用いてモンテカルロシミュレーションで研究する。
• 結合定数と行列サイズの変動に応じた秩序パラメータと相関関数の分析を通じて、相図を特定する。
• 4次元曖昧球面に対しては、S⁴を部分多様体として埋め込んだ6次元複素射影空間CP³上にスカラー理論を定義する。
• CP³上の余剰自由度は確率的手法により抑制され、有効理論としてCP³がS⁴に還元される。
• 理論の幾何的構造を分析し、次元削減をカーラツァ＝クライン機構として解釈する。
• 大きな行列の極限では連続空間が回復され、曖昧近似の整合性が保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元曖昧空間上でのλϕ⁴理論は、強い結合定数領域におけるUV-IR混合を示す非一様秩序相を示すか？
• RQ2 S⁴に対する直接的な量子化手順が存在しないにもかかわらず、4次元曖昧球面上に一貫したスカラー場理論を構築できるか？
• RQ3 CP³における余剰自由度は、S⁴上の有効理論にどのように寄与するか？ また、それらは動的に抑制可能か？
• RQ4 スカラー場理論の文脈において、CP³からS⁴への次元削減の幾何的解釈は何か？
• RQ5 曖昧形式の大きな行列極限において、連続空間の幾何的性質はどのように回復されるか？

主な発見

• 3次元曖昧空間上でのλϕ⁴理論は、非一様秩序の第三の相を示し、強い結合定数領域におけるUV-IR混合の存在を示唆する。
• 相図には標準的な無秩序相と一様秩序相に加え、中間的な結合定数領域で非一様秩序相が出現する。
• 4次元曖昧球面上のスカラー場理論は、CP³上での高次元的構成により実現され、必要な自由度を提供する。
• CP³上の余剰自由度は確率的メカニズムにより動的に抑制され、S⁴上の有効理論が得られる。
• 幾何的解析により、この構成がCP³からS⁴へのカーラツァ＝クライン還元に対応することが確認され、標的空間の構造が保存される。
• 曖昧形式は、大きな行列極限において連続空間の幾何的性質を保存し、正則化スキームとしての有効性が裏付けられる。