[論文レビュー] CERES for First-Order Schemata

Dunchev, Cvetan, Alexander Leitsch+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2013

Logic, programming, and type systems参考文献 2被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、一階論理におけるカット除去のための CERES 法のスケーマティック拡張である ${\rm CERES}_{s}$ を紹介する。この手法は、スケーマティック特徴的節集合と解像度を用いて、帰納的に定義された証明における自動的カット除去を可能にする。証明スキーマは $β$-計算と $β$-証明を用いて形式化され、任意の自然数 $α$ に対して、入力に対して多項式時間のサイズのカットフリー証明を生成することが示され、従来の帰納法規則を含む計算体系を超えてカット除去を拡張する。

ABSTRACT

The cut-elimination method CERES (for first- and higher-order classical logic) is based on the notion of a characteristic clause set, which is extracted from an LK-proof and is always unsatisfiable. A resolution refutation of this clause set can be used as a skeleton for a proof with atomic cuts only (atomic cut normal form). This is achieved by replacing clauses from the resolution refutation by the corresponding projections of the original proof. We present a generalization of CERES (called CERESs) to first-order proof schemata and define a schematic version of the sequent calculus called LKS, and a notion of proof schema based on primitive recursive definitions. A method is developed to extract schematic characteristic clause sets and schematic projections from these proof schemata. We also define a schematic resolution calculus for refutation of schemata of clause sets, which can be applied to refute the schematic characteristic clause sets. Finally the projection schemata and resolution schemata are plugged together and a schematic representation of the atomic cut normal forms is obtained. A major benefit of CERESs is the extension of cut-elimination to inductively defined proofs: we compare CERESs with standard calculi using induction rules and demonstrate that CERESs is capable of performing cut-elimination where traditional methods fail. The algorithmic handling of CERESs is supported by a recent extension of the CERES system.

研究の動機と目的

• 帰納的証明に CERES 法を拡張するため、無限個の証明列を証明スキーマとして形式化すること。
• スケーマティック特徴的節集合とスケーマティック証明射影を扱う形式的枠組みを構築すること。
• 帰納的証明から導かれる節スキーマを反証できるスケーマティック解像度計算体系を定義すること。
• 標準的手法が失敗する帰納法規則を含む証明において、自動的カット除去を可能にすること。
• 数学的証明（例えば、フォルステンベルクによる素数の無限性の証明）の形式的検証と、半自動的証明スキーマ開発を支援すること。

提案手法

• 原始再帰的定義に基づくスケーマティックシークエント計算体系 $\mathbf{LKS}_{\cal E}$ を定義し、証明スキーマを形式化する。
• 証明スキーマ $\Psi$ から抽出されるスケーマティック特徴的節集合 $\mathrm{CL}(\Psi)$ を導入する。
• 証明スキーマ $\Psi$ から、節から元のスキーマ内の証明断片への写像としてのスケーマティック証明射影 $\mathrm{PR}(\Psi)$ を構築する。
• $\mathrm{CL}(\Psi)$ から、解像度反証スキーマ $R = ((\varrho_1,\ldots,\varrho_\beta), {\cal R})$ を導出するためのスケーマティック解像度計算体系を開発する。
• 与えられた $\alpha \in \mathbb{N}$ において、$V_c$-および $V_2$-置換 $\lambda$ と $\theta$ を適用して解像度スキーマを評価する。
• 評価済み射影を解像度木に挿入することで、最終的なアトムカット正規形を構築し、カットフリーかつ多項式サイズを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的手法が失敗する帰納的に定義された証明に、体系的なカット除去を適用できるか？
• RQ2 無限個の証明列を、スケーマティック証明構造を用いて形式的に表現できるか？
• RQ3 証明スキーマから導かれる節スキーマを反証できるスケーマティック解像度計算体系を定義できるか？
• RQ4 入力サイズに関して、得られるカットフリー証明の計算量的複雑性はいかほどか？
• RQ5 CERES 法を帰納法を扱えるように拡張でき、形式的に検証可能で半自動的な証明スキーマを生成できるか？

主な発見

• ${\rm CERES}_{s}$ 法は、証明をスケーマティック節集合に変換し、解像度による反証によって帰納的証明へのカット除去を成功裏に拡張する。
• 任意の $\alpha \in \mathbb{N}$ に対して、CERES-s 手順の評価により、$S(\alpha)$ のアトムカットを高々含む、地面的 $\mathbf{LKS}_{\cal E}$-証明 $\pi$ が得られる。
• 得られる証明 $\pi$ のサイズは、$|\varrho_1(n,\bar{x},\bar{X})\lambda\theta\downarrow_\alpha| \cdot |\mathrm{PR}(\Psi)\downarrow_\alpha|$ に対して多項式的である。
• スケーマティック特徴的節集合と証明射影の構築は完全に機械化可能であり、既に CERES システムに実装済みである。
• 本手法により、スケーマティックカット除去の形式的検証が可能となり、フォルステンベルクによる素数の無限性の証明を用いて、半自動的証明スキーマ開発の支援が可能であることが示された。
• 現在の枠組みは単一パラメータスキーマに限定されており、ネストされた帰納法はまだサポートしていないため、今後の一般化が求められる。