[論文レビュー] Certain Types of Arithmetic Integer Additive set-indexers of Graphs

Sudev Naduvath, K. A. Germina|arXiv (Cornell University)|May 20, 2014

Advanced Graph Theory Research参考文献 7被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、グラフ理論における2種類の特殊な整数加法的集合指数関数（IASI）である均一的および同算術的IASIについて、導入および分析を行う。グラフがこれらのIASIを許容するための条件を確立し、頂点および辺のラベルにおける単射ラベリング関数と算術級数制約を用いて、構造的および算術的性質を特徴づける。

ABSTRACT

An integer additive set-indexer (IASI) is defined as an injective function f: V (G) → P(N0) such that the induced function f+: E(G) → P(N0) defined by gf (uv) = f(u)+f(v) is also injective, where N0 is the set of all non-negative integers. A graph G which admits an IASI is called an IASI graph. An IASI f is said to be a weak IASI if |gf (uv) | = max(|f(u)|, |f(v)|) and an IASI f is said to be a strong IASI if |gf (uv) | = |f(u)||f(v) | for all u, v ∈ V (G). An IASI of a graph G is said to be an arithmetic IASI if the elements of the set-labels of all vertices and edges of G are in arithmetic progressions. In this paper, we discuss about two special types of arithmetic IASIs. Key words: Integer additive set-indexers, uniform integer additive set-indexers, arithmetic integer additive set-indexers, isoarithmetic integer additive set-indexers, biarithmetic integer additive set-indexer. AMS Subject Classification: 05C78 1

研究の動機と目的

• グラフにおける算術的整数加法的集合指数関数（IASI）の存在および構造的性質を調査すること。
• 2種類の特殊な算術的IASI、すなわち均一的および同算術的IASIを定義し、特徴づけること。
• グラフがこれらの特殊なIASIを許容するための必要十分条件を特定すること。
• 単射頂点ラベリング、集合の加法による辺ラベリング、および算術級数制約の間の相互作用を検討すること。

提案手法

• P(N₀) を非負整数のべき集合とする。整数加法的集合指数関数（IASI）を、単射関数 f: V(G) → P(N₀) として定義する。
• f⁺(uv) = f(u) + f(v) を用いて、f⁺: E(G) → P(N₀) という辺ラベリング関数を誘導する。ここで '+' は和集合演算を表す。
• 集合の濃度に関する条件に基づき、IASIを弱いものまたは強いものに分類する：|f⁺(uv)| = max(|f(u)|, |f(v)|) または |f⁺(uv)| = |f(u)||f(v)|。
• すべての集合ラベル（頂点および辺）が算術級数を形成するようなIASIを算術的IASIと呼ぶ。
• すべての頂点ラベルが同じ公差を持つ算術級数であるようなIASIを均一的IASIと定義する。
• 辺ラベルの公差が頂点ラベルの公差と等しい特別な場合として、同算術的IASIを導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で、グラフが均一的算術的IASIを許容できるか？
• RQ2 同算術的IASIをサポートするためには、グラフがどのような構造的制約を満たすべきか？
• RQ3 弱いおよび強いIASIの濃度特性が、算術級数制約とどのように相互作用するか？
• RQ4 同算術的IASIにおいて、頂点ラベルと辺ラベルの公差の関係は何か？
• RQ5 すべてのグラフが算術的IASIでラベリング可能かどうか。もしそうでないなら、その必要十分条件は何か？

主な発見

• すべての頂点ラベルが同じ公差を持つ算術級数であるとき、かつそのときに限り、グラフは均一的IASIを許容する。
• 辺ラベルの公差が頂点ラベルの公差と等しいとき、かつそのときに限り、グラフに同算術的IASIが存在する。
• 算術的IASIの存在は、特に頂点の次数およびラベリングパターンに、きびしい構造的制約を課える。
• 強いIASIが算術的であるためには、頂点ラベル集合のサイズの積が、辺ラベル集合のサイズと一致し、かつその辺ラベル集合も算術級数でなければならない。
• 本稿では、弱いIASIが算術的であるのは、頂点ラベル集合のサイズおよび構造に特定の条件が満たされる場合に限ることを確立した。
• 本研究は、グラフが許容する算術的IASIの種別に基づく分類フレームワークを提供し、均一的、同算術的、および一般算術的IASIの区別を可能にした。