[論文レビュー] Certification of Confluence Proofs using CeTA

Julian Nagele, René Thiemann|arXiv (Cornell University)|May 6, 2015

Logic, programming, and type systems参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、IsaFoRで形式化された証明技法を活用して、項書き換え系における結合性および非結合性の証明を証明可能に拡張したCeTAツールの拡張を提示する。終了に基づく結合性証明、弱正規化性、上限付き幅優先探索による強閉包、非結合可能な分岐による非結合性をサポートし、Isabelle/HOLによる形式的正当性保証と実行可能チェックによって正しさが保証される。

ABSTRACT

CeTA was originally developed as a tool for certifying termination proofs which have to be provided as certificates in the CPF-format. Its soundness is proven as part of IsaFoR, the Isabelle Formalization of Rewriting. By now, CeTA can also be used for certifying confluence and non-confluence proofs. In this system description, we give a short overview on what kind of proofs are supported, and what information has to be given in the certificates. As we will see, only a small amount of information is required and so we hope that CSI will not stay the only confluence tool which can produce certificates.

研究の動機と目的

• 元々終了証明のためのものとして設計されたCeTAを、項書き換え系における結合性および非結合性証明の形式的証明に拡張すること。
• IsaFoRから形式化された証明技法を用いて、信頼できる機械検証可能な結合性証明の証明を可能にすること。
• 弱正規化性、強閉包、木オートマトンに基づく手法を含む多様な結合性基準を、最小限の証明書オーバーヘッドでサポートすること。
• 変数条件を満たす特定の条件下で、非結合性に関するモジュラリティ定理を形式化し、非交差結合のTRの非結合性を組み合わせ的に証明可能にすること。
• CSIなどの結合性ツールがCeTAと互換性を持つ証明書を生成できるようにすることで、ツール間の相互運用性を促進すること。

提案手法

• 終了に基づく結合性証明：CeTAは提供された終了証明を用いて、自動的に臨界対の結合可能性を正規形への書き換えによって生成・検証する。
• 弱正規化性に基づく結合性証明：証明書はTRが弱正規化的であることを示すだけで十分であり、CeTAが容易に検証できる文法的条件である。
• 強閉包に基づく結合性証明：幅優先探索の導出深さの上限が証明書に含まれ、CeTAはその上限内での結合可能性を検証する。
• 非結合可能な分岐に基づく非結合性証明：証明書には、共通の項から二つの非結合可能な項への明示的導出に加え、非結合可能性の証明が含まれる必要がある。
• 木オートマトンを用いた証明：CeTAは木オートマトンの属する性質、積集合、空集合のチェックをサポートし、TRに於いての閉包性は適合性または状態適合性条件によって検証される。
• モジュラ非結合性証明：変数条件を満たす条件下で、非交差結合のTRの一部が非結合的である場合、CeTAはその全体が非結合的であることを証明可能にしている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 CeTAは、終了に基づく手法を超えた結合性証明を、形式的正当性保証のもとで拡張可能か？
• RQ2 非終了的TRの結合性証明を効率的かつ信頼できる形で証明可能にするために、最小限の証明書形式は何か？
• RQ3 信頼できるフレームワーク内で、明示的導出と非結合可能性証明を用いて非結合性を形式的に証明可能か？
• RQ4 Isabelle/HOLのような証明支援系で、強閉包および木オートマトン手法をサポートするために必要な形式化技法は何か？
• RQ5 結合性に関するモジュラリティ定理は、どの程度まで形式化され、合成的に非結合性を証明可能にできるか？

主な発見

• CeTAは、弱正規化性、上限付き幅優先探索による強閉包、木オートマトンに基づく手法を用いた結合性証明をサポートするよう拡張され、元々の終了中心の枠組みを超えたものとなった。
• アッカーマンに基づく例のような非終了的TRでは、正規形への書き換えによる結合性証明は失敗するが、上限付き幅優先探索による強閉包は成功する。
• 幅優先探索における深さの上限の使用により、Isabelle内での全性が保証され、非終了的結合性証明の形式的検証が可能になった。
• 非結合性は、非結合可能な項への明示的導出と非結合可能性の形式的証明を用いて、複雑なTRに対しても証明可能である。
• 非結合性に関するモジュラリティ結果は形式化され、証明可能である：非交差結合のTRの一部が非結合的で、かつ変数条件を満たしている場合、全体としても非結合的である。
• IsaFoRにおける形式化により、CeTAのすべての検証が構成上正しく保証され、実行可能関数とIsabelleからのコード生成が可能になった。