[論文レビュー] Ces\`aro bounded operators in Banach spaces

Teresa Bermúdez, A. Bonilla+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2017

Holomorphic and Operator Theory被引用数 1

ひとこと要約

本稿はバナッハ空間およびヒルバート空間におけるセザロ有界作用素を調査し、絶対的セザロ有界作用素および一様クライス有界作用素の作用素ノルムの鋭い漸近的評価を確立する。このような作用素が ||T^n|| = o(n)（ヒルバート空間では o(n^{1/2})）を満たすことを証明し、一様クライス有界作用素に関するアレマンとシュチウの問いを解決し、ヒルバート空間において lim ||T^n / n|| = 0 が成り立つことを示す。さらに、ℕ^p(N) 上で混合的で平均的エルゴードな作用素の構成を行う。また、m-等距離作用素における数値的混合的性質を特徴づけ、厳密なm-等距離作用素の随伴作用素が混合的であり、弱くエルゴード的な3-等距離作用素は弱く数値的混合的であることを示す。

ABSTRACT

We study several notions of boundedness for operators. It is known that any power bounded operator is absolutely Ces\`aro bounded and strong Kreiss bounded (in particular, uniformly Kreiss bounded). The converses do not hold in general. In this note, we give examples of topologically mixing absolutely Ces\`aro bounded operators on $\ell^p(\mathbb{N})$, $1\le p < \infty$, which are not power bounded, and provide examples of uniformly Kreiss bounded operators which are not absolutely Ces\`aro bounded. These results complement very limited number of known examples (see \cite{Shi} and \cite{AS}). In \cite{AS} Aleman and Suciu ask if every uniformly Kreiss bounded operator $T$ on a Banach spaces satisfies that $\lim_n\| \frac{T^n}{n}\|=0$. We solve this question for Hilbert space operators and, moreover, we prove that, if $T$ is absolutely Ces\`aro bounded on a Banach (Hilbert) space, then $\| T^n\|=o(n)$ ($\| T^n\|=o(n^{\frac{1}{2}})$, respectively). As a consequence, every absolutely Ces\`aro bounded operator on a reflexive Banach space is mean ergodic, and there exist mixing mean ergodic operators on $\ell^p(\mathbb{N})$, $1< p <\infty$. Finally, we give new examples of weakly ergodic 3-isometries and study numerically hypercyclic $m$-isometries on finite or infinite dimensional Hilbert spaces. In particular, all weakly ergodic strict 3-isometries on a Hilbert space are weakly numerically hypercyclic. Adjoints of unilateral forward weighted shifts which are strict $m$-isometries on $\ell ^2(\mathbb{N})$ are shown to be hypercyclic.

研究の動機と目的

• 絶対的セザロ有界作用素および一様クライス有界作用素の ||T^n|| の鋭い漸近的成長率を確立すること。
• アレマンとシュチウが提起した問い、すなわちバナッハ空間上のすべての一様クライス有界作用素 T が lim ||T^n / n|| = 0 を満たすかどうかを解決すること。
• べき有界でないが、位相的に混合的で絶対的セザロ有界な作用素の例を ℕ^p(N) 上に構成すること。
• 特に厳密な3-等距離作用素およびその随伴作用素を含む、m-等距離作用素における数値的混合的性質とエルゴード性を特徴づけること。
• 弱くエルゴード的な3-等距離作用素の新しい例を提示し、それらの動的性質を有限次元および無限次元ヒルバート空間で考察すること。

提案手法

• Cesàro平均 Mn(T) = (1/(n+1)) ∑_{k=0}^n T^k の分析を通じて、セザロ有界性および関連概念の定義と研究を行う。
• スペクトル理論およびジョルダン標準形を用いて、有限次元不変部分空間をもつ作用素の ||T^n|| の漸近的挙動を分析する。
• スペクトル写像定理および重み付きシフトの性質を応用し、望ましい動的性質をもつm-等距離作用素の例を構成する。
• 1 < p < ∞ に対して、ℕ^p(N) 上の前向き重み付きシフトにおける数値的混合的性質と非べき有界性の同値性を応用する。
• ユニタリ同値性を用いて、ℕ^2(N) からの結果を一般の無限次元分離可能ヒルバート空間へと移す。
• 多項式的成長 ||T^k x||^2 と複素数体上の稠密性に関する議論を用いて、数値軌道の非稠密性を確立する証明技法。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のバナッハ空間上のすべての一様クライス有界作用素 T に対して、lim_{n → ∞} ||T^n / n|| = 0 が成り立つか？
• RQ2 ℕ^p(N) 上に、べき有界でないが位相的に混合的で絶対的セザロ有界な作用素が存在しうるか？
• RQ3 ヒルバート空間上のすべての弱くエルゴード的厳密3-等距離作用素は、弱く数値的混合的か？
• RQ4 ℕ^2(N) 上で厳密なm-等距離作用素である前向き重み付きシフトの随伴作用素は、混合的か？
• RQ5 絶対的セザロ有界作用素および一様クライス有界作用素の ||T^n|| の正確な漸近的成長は何か？

主な発見

• 任意の 0 < ε < 1/p に対して、ℕ^p(N) 上に ||T^n|| = (n+1)^{1/p - ε} を満たす絶対的セザロ有界で混合的な作用素 T が存在する。
• 反射的バナッハ空間上の任意の絶対的セザロ有界作用素は平均的エルゴード的である。
• ヒルバート空間上の任意の絶対的セザロ有界作用素は ||T^n|| = o(n^{1/2}) を満たす。
• ヒルバート空間上の一様クライス有界作用素は ||T^n|| = o(n) を満たし、特に lim ||T^n / n|| = 0 が成り立つ。
• ℕ^2(N) 上で厳密なm-等距離作用素である前向き重み付きシフトの随伴作用素は、m ≥ 2 のとき混合的である。
• ヒルバート空間上の任意の弱くエルゴード的厳密3-等距離作用素は弱く数値的混合的である。