[論文レビュー] CFT approach to the $q$-Painlevé VI equation

M. Jimbo, Hajime Nagoya+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2017

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 13被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、AGT対応における組合せ的級数から導かれる4つのtau関数の比として一般解を構成することにより、$q$-Painlevé VI方程式に対する conformal field theory (CFT) アプローチの$q$-アナログを確立する。8つのtau関数に関する予想的な双線形差分方程式を提示し、これらの関数を用いた解の明示的表現を提供することで、等モノドロミー/CFT対応を$q$-差分設定へと拡張する。

ABSTRACT

Iorgov, Lisovyy, and Teschner established a connection between isomonodromic deformation of linear differential equations and Liouville conformal field theory at $c=1$. In this paper we present a $q$ analog of their construction. We show that the general solution of the $q$-Painlevé VI equation is a ratio of four tau functions, each of which is given by a combinatorial series arising in the AGT correspondence. We also propose conjectural bilinear equations for the tau functions.

研究の動機と目的

• 等モノドロミー/CFT対応を$q$-差分設定へと拡張し、$q$-Painlevé VI方程式の$q$-アナログを構成すること。
• AGTフレームワークにおける conformal block から生じる4つのtau関数の比として、$q$-Painlevé VI方程式の一般解を表現すること。
• 追加の特異点を含む、$x=0$および$x=\infty$を超える点に関連する8つのtau関数に関する予想的な双線形差分方程式を提案すること。
• $q$-アナログ等モノドロミー理論における融合の欠如を、量子トロイダル$\mathfrak{gl}_1$代数における3価頂点演算子とバーティング関係を用いることで克服すること。

提案手法

• 中心電荷$c=1$に対応する、量子トロイダル$\mathfrak{gl}_1$代数における3価頂点演算子を用いて構成された$q$-アナログ conformal block を使用する。
• $q$-アナログの退化一次元場の$q$-アナログを導入し、そのバーティング関係を用いて$q$-Painlevé VI方程式の解を導出する。
• conformal block 関数のフーリエ変換を適用し、$q$-アナログのリーマン問題の解$Y(x)$を構成する。
• $x=0$および$x=\infty$における級数展開から得られる4つのtau関数の比として、$q$-Painlevé VI方程式の解$y,z$を導出する。
• 追加の特異点に関連する8つのtau関数に関する予想的な双線形差分方程式 (3.16)–(3.23) を提示する。
• AGT対応からの組合せ的公式を用いて、tau関数を$q$-Pochhammer記号および$q$-ガンマ関数を含む無限級数として表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $c=1$におけるCFTを用いて、等モノドロミー/CFT対応を$q$-差分Painlevé方程式へと拡張することは可能か？
• RQ2 一般解の$q$-Painlevé VI方程式は、conformal block から生じるtau関数の比としてどのように表現できるか？
• RQ3 $q$-アナログ設定におけるtau関数が満たす適切な双線形差分方程式は何か？
• RQ4 なぜ融合の欠如が、$q$-アナログ等モノドロミー理論を完全に構築する上で主要な障壁となるのか？
• RQ5 $q$-アナログ一次元場のバーティング関係は、$q$-Painlevé VI方程式の構造とどのように関係するか？

主な発見

• 一般解の$q$-Painlevé VI方程式は、AGT対応からの組合せ的級数によって与えられる4つのtau関数の比として表現される。
• 解$y,z$は、予想的な双線形方程式に基づき、式 (3.24) を用いて明示的にこれらの4つのtau関数で記述される。
• 8つのtau関数に関する予想的な双線形差分方程式 (3.16)–(3.23) が提示され、$x=0$および$x=\infty$を超える特異点を含む構造へと既知の構造を拡張する。
• この構成は、$q$-アナログ退化場のバーティング関係に依存しており、付録Aで組合せ的に証明されている。
• 本研究は、等モノドロミー変形に対するCFTアプローチの$q$-アナログを確立し、連続的状況から$q$-差分設定へと一般化する。
• 頂点演算子と$q$-特異関数を用いた$q$-Painlevé tau関数の構築フレームワークを提供し、明示的な級数表現を示す。