[論文レビュー] Chain coalgebras and distributivity

Christian Lomp, Alveri Sant’Ana|ArXiv.org|Oct 4, 2006

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 15被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、右コイデアルの分配的ラティスを持つコアルゲブラを、鎖型コアルゲブラ—つまりコイデアルラティスが全順序であるコアルゲブラ—の直和として特徴づける。有限次元鎖型コアルゲブラは、底辺体上の有限次元除法代数を剰余体とするネーター鎖環の有限双対として生じるが、無限次元のものは左ネーター鎖整域の有限双対として生じる。完璧体上では、すべての無限次元鎖型コアルゲブラが、除法代数上のべき級数環のコタングェントコアルゲブラまたは有限双対として実現される。

ABSTRACT

We show that coalgebras whose lattice of right coideals is distributive are coproducts of coalgebras whose lattice of right coideals is a chain. Those chain coalgebras are characterized as finite duals of noetherian chain rings whose residue field is a finite dimensional division algebra over the base field. They also turn out to be coreflexive and infinite dimensional chain coalgebras turn out to be finite duals of left noetherian chain domains. Given any finite dimensional division algebra D and D-bimodule structure on D we construct a chain coalgebra as a cotensor coalgebra. Moreover if D is separable over the base field, every chain coalgebra of type D can be embedded in such a cotensor coalgebra. As a consequence cotensor coalgebras arising in this way are the only infinite dimensional chain coalgebras over perfect fields. Finite duals of power series rings with coeficients in a finite dimensional division algebra D are further examples of chain coalgebras, which also can be seen as the tensor product of D* and the divided power coalgebra and can be realized as the generalized path coalgebra of a loop. If D is central, any chain coalgebra is a subcoalgebra of the finite dual of D[[x]].

研究の動機と目的

• 右コイデアルのラティスが分配的であるコアルゲブラを特徴づける。
• 鎖型コアルゲブラ—つまり右コイデアルのラティスが全順序であるコアルゲブラ—を体上に分類する。
• 完璧体上での無限次元鎖型コアルゲブラの構造を特定する。
• コタングェントコアルゲブラとねじれべき級数環を用いて、非コアソシエイティブな鎖型コアルゲブラの明示的例を構成する。
• すべての無限次元鎖型コアルゲブラが、完璧体上では左ネーター鎖整域または特定のべき級数環の有限双対として生じることを示す。

提案手法

• コアルゲブラと代数の双対性を利用する：コアルゲブラ C が鎖型コアルゲブラであることと、C* がその反対代数上でのユニシリアル加群であることは同値である。
• 有限次元鎖型コアルゲブラを、底辺体上の有限次元除法代数を剰余体とするネーター鎖環の有限双対として特徴づける。
• 無限次元鎖型コアルゲブラを、左ネーター鎖整域の有限双対として構成する。
• 除法代数 D を用いた、指定された両側加群構造を持つコタングェントコアルゲブラを介して鎖型コアルゲブラを実現する。
• 同型 C* ≃ D[[x]] または D[[x,α]] を用いて、べき級数環の有限双対が鎖型コアルゲブラとして同定されることを示す。
• 完璧体上では、すべての無限次元鎖型コアルゲブラが、D が中心的または非可換である場合、D[[x]] またはねじれべき級数環 D[[x,α]] の有限双対として生じることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのコアルゲブラが右コイデアルの分配的ラティスを持ち、どのように分解できるか？
• RQ2 鎖型コアルゲブラ C の双対代数 C* の代数的構造は何か？
• RQ3 代数的閉でない体上での非コアソシエイティブ鎖型コアルゲブラをどのように明示的に構成できるか？
• RQ4 完璧体上での無限次元鎖型コアルゲブラの完全な分類は何か？
• RQ5 R（R, C, H）上の有限次元除法代数 D で、そのべき級数双対によって得られる鎖型コアルゲブラが異なるのはどれか？

主な発見

• 右コイデアルのラティスが分配的である任意のコアルゲブラは、鎖型コアルゲブラの直和と同型である。
• 有限次元鎖型コアルゲブラは、底辺体上の有限次元除法代数を剰余体とするネーター鎖環の有限双対にちょうど一致する。
• 無限次元鎖型コアルゲブラは、左ネーター鎖整域の有限双対である。
• 実数体上では、唯一の無限次元鎖型コアルゲブラは R[[x]]°, C[[x]]°, C[[x,α]]°, H[[x]]° である。ここで α は複素共役である。
• 任意の有限次元除法代数 D と D-両側加群構造に対して、鎖型コアルゲブラはコタングェントコアルゲブラとして構成可能であり、D が分離的であれば、すべてのこのような鎖型コアルゲブラはこのコタングェントコアルゲブラに埋め込まれる。
• D が中心的である場合、すべての鎖型コアルゲブラは D[[x]] の有限双対の部分コアルゲブラである。