[論文レビュー] Chain level Floer theory and Hofer's geometry of the Hamiltonian diffeomorphism group

Yong‐Geun Oh|ArXiv.org|Apr 25, 2001

Geometric and Algebraic Topology参考文献 13被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、弱完全なシンプレクティック多様体上の準自己同型ハミルトニアン経路、または一般のシンプレクティック多様体上の自己同型経路が、すべての周期1未満の可縮的周期軌道が $C^1$-小であり、固定された最大値と最小値が過剰にねじれていない場合、固定端点を持つホモトピー類内で長さ最小であることを確立する。証明は、実フィルトレーションを用いたチェーンレベルのフローリーhomologyとスペクトル不変量を用い、作用スペクトルを制御し、非押し下げてはならない補題とハンドルスライディング補題を用いて最小性を確立する。

ABSTRACT

In this paper we first apply the chain level Floer theory to the study of Hofer's geometry of Hamiltonian diffeomorphism group in the cases without quantum contribution: we prove that any quasi-autonomous Hamiltonian path on weakly exact symplectic manifolds or any autonomous Hamiltonian path on arbitrary symplectic manifolds is length minimizing in its homotopy class with fixed ends, as long as it has a fixed maximum and a fixed minimum which are not over-twisted and all of its contractible periodic orbits of period less than one are sufficiently $C^1$-small. Next we give a construction of new invariant norm of Viterbo's type on the Hamiltonian diffeomorphism group of arbitrary compact symplectic manifolds.

研究の動機と目的

• ホーファーのハミルトニアン微分同相群の幾何学において、準自己同型および自己同型ハミルトニアン経路の長さ最小性を確立すること。
• 従来の遅い自己同型ハミルトニアンに関する結果を、遅さの仮定を除去し、時間に依存するハミルトニアンおよび定数でない周期軌道を許容することで拡張すること。
• コンパクトなシンプレクティック多様体のハミルトニアン微分同相群に、バイトェボ型の新しい不変ノルムを構成すること。
• 量子寄与が存在しない場合に、特にホーファー幾何学を研究するためのチェーンレベルのフローリー理論的枠組みを提供すること。

提案手法

• 実フィルトレーションを用いたチェーンレベルのフローリーhomologyを用いて、ハミルトニアン経路の作用スペクトルとスペクトル不変量を分析する。
• 断熱ホモトピーとチェーンホモトピー技術を適用し、異なるハミルトニアンのフローリー複体を関連付ける。
• $C^2$-小なハミルトニアンの局所的フローリー複体を用いて、固定点集合とグラフの交点を比較する。
• ハンドルスライディング補題と非押し下げてはならない補題を用いて、ホモトピー下でのスペクトル不変量を制御し、作用フィルトレーションの連続性を保証する。
• ホモトピーを用いてハミルトニアンの族を構成し、擬複素曲線の正則性を用いてスペクトル制御のための非自明なモジュライ空間を保証する。
• スペクトル不変量と作用推定を適用し、固定端点を持つホモトピー下で経路長が短縮できないことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホーファー幾何学において、固定端点を持つホモトピー類内で、準自己同型ハミルトニアン経路がいつ長さ最小であるか？
• RQ2 従来の自己同型ハミルトニアン経路に関する結果における「遅さ」の仮定は、フローリー理論的手法を用いて除去可能か？
• RQ3 スペクトル不変量とフローリーhomologyは、量子寄与が存在しない場合に作用スペクトルを制御し、最小性を証明するためにどのように用いられるか？
• RQ4 非押し下げてはならない補題とハンドルスライディング補題は、スペクトル不変量の連続性と下界を確立するために果たす役割は何か？
• RQ5 チェーンレベルのフローリー理論を用いて、任意のコンパクトなシンプレクティック多様体のハミルトニアン微分同相群に、新しいバイトェボ型不変ノルムを構成可能か？

主な発見

• 弱完全なシンプレクティック多様体上の任意の準自己同型ハミルトニアン経路は、すべての周期1未満の可縮的周期軌道が $C^1$-小であり、固定された最大値と最小値が過剰にねじれていない限り、固定端点を持つホモトピー類内で長さ最小である。
• この結果は、遅さの条件を要しない任意のシンプレクティック多様体上の自己同型ハミルトニアン経路へと拡張可能である。
• 証明は、特定の擬複素曲線のモジュライ空間が非自明であることに依存しており、これによりスペクトル不変量がホモトピー下で適切に振る舞うことが保証される。
• ハンドルスライディング補題と非押し下げてはならない補題が、スペクトル不変量の連続性と下界を確立するために用いられ、これが長さ最小性を示唆する。
• チェーンレベルのフローリー理論を用いて、任意のコンパクトなシンプレクティック多様体のハミルトニアン微分同相群に、新しいバイトェボ型不変ノルムが構成可能である。
• スペクトル不変量 $ u_{ ext{spec}}$ が経路に沿って連続であることが示され、これにより固定端点を持つホモトピー下で経路長が短縮できないことが導かれる。