[論文レビュー] Chain Logic and Shelah's Infinitary Logic

Mirna Džamonja, Jouko Väänánen|arXiv (Cornell University)|Aug 3, 2019

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 33被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、可算の共終型をもつ特異基数 $κ$ で $κ = \beth_\u03ba$ を満たすものについて、Karpのチェーン論理 $L^c_{\kappa,\kappa}$ が、補間性、整列の強い定義不可能性、および最大性において、Shelahの論理 $L^1_\kappa$ と同等の表現力を有することを確立している。この論文は、チェーン論理が完全性定理、和集合補題、およびチェーンに依存しない部分論理の特徴付けを満たすことを証明し、$L^1_\kappa$ に代わる文法的に明確な代替手段を提供するとともに、Shelahの問題1.4をチェーンモデルの観点から解決する。

ABSTRACT

For a cardinal of the form $\kappa=\beth_\kappa$, Shelah's logic $L^1_\kappa$ has a characterisation as the maximal logic above $\bigcup_{\lambda<\kappa} L_{\lambda, \omega}$ satisfying Strong Undefinability of Well Order (SUDWO). SUDWO is a strengthening of the Undefinability of Well Order (UDWO). We prove that if $\kappa$ is singular of countable cofinality, Karp's chain logic \cite{Karpintroduceschain} is above $L^1_\kappa$, while it is already known that it satisfies UDWO and Interpolation. Moreover, we show that in these circumstances, the chain logic is -- in a sense -- maximal among logics with chain models to satisfy UDWO. We then show that the chain logic gives a partial solution to Problem 1.4. from Shelah's \cite{Sh797}, which asked whether for $\kappa$ singular of countable cofinality there was a logic strictly between $ L_{\kappa^+, \omega}$ and $L_{\kappa^+, \kappa^+}$ having Interpolation. We show that modulo accepting as the upper bound a model class of $L_{\kappa, \kappa}$, Karp's chain logic satisfies the required properties. In addition, we show that this chain logic is not $\kappa$-compact, a question that we have asked on various occasions. We contribue to the further development of chain logic by proving the Union Lemma and identifying the chain-independent fragment of the logic, showing that it still has considerable expressive power. In conclusion, we have shown that the simply defined chain logic emulates the logic $L^1_\kappa$ in satisfying Interpolation, undefinability of well-order and maximality with respect to it, and the Union Lemma. In addition it has a Completeness Theorem.

研究の動機と目的

• 可算の共終型をもつ特異基数 $\kappa$ の文脈において、Karpのチェーン論理 $L^c_{\kappa,\kappa}$ とShelahの論理 $L^1_\kappa$ を比較すること。
• 特異基数 $\kappa$ が可算の共終型をもち、$\kappa = \beth_\kappa$ のとき、$L_{\kappa^+,\omega}$ と $L_{\kappa^+,\kappa^+}$ の間の論理で、補間性を満たすものを見つけるというShelahの問題1.4に応えること。
• チェーン論理が、文法的に明確な $L^1_\kappa$ の代替手段を提供することを示すこと。
• $L_{\kappa,\kappa}$ のチェーンに依存しない部分論理を特徴付け、それらがクライクや長い分岐を省略するといった古典的性質を表現できるかどうかを示すこと。
• チェーン論理 $L^c_{\kappa,\kappa}$ が $\kappa$-コンパクトでないことを確立し、長年の疑問を解決すること。

提案手法

• 古典的モデルとは異なり、チェーンモデルとチェーン同型を基礎とする意味論を定義し、$L_{\kappa,\kappa}$ における基礎を置く。
• 可算の共終型をもつ特異基数 $\kappa$ で $κ = \beth_\u03ba$ を満たすものについて、$L^c_{\kappa,\kappa}$ が強い整列の定義不可能性（SUDWO）および補間性を満たすことを証明する。
• チェーンモデルにおける和集合補題を導入し、チェーンのすべてのモデルで文が成り立つならば、その和集合でも成り立つことを示す。
• モデルの異なる適切なチェーン分解において不変な真理を持つ文の集合として、$L_{\kappa,\kappa}$ のチェーンに依存しない部分論理を特徴付ける。
• チェーンに依存しない部分論理を用いて、$\lambda < \kappa$ かつ $\operatorname{cf}(\lambda) > \aleph_0$ のとき、サイズ $\lambda$ のクライクを省略するといった古典的モデル理論的性質を表現する。
• チェーン論理 $L^c_{\kappa,\kappa}$ と $L^1_\kappa$ を比較し、前者が後者と同様の重要な性質を満たす一方で、標準的な文法を保っていることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可算の共終型をもつ特異基数 $\kappa$ で $\kappa = \beth_\kappa$ を満たすものについて、Karpのチェーン論理 $L^c_{\kappa,\kappa}$ は補間性および強い整列の定義不可能性を満たすか？
• RQ2 チェーン論理は、Shelahの問題1.4（$L_{\kappa^+,\omega}$ と $L_{\kappa^+,\kappa^+}$ の間で補間性を満たす論理）を満たす解を提供できるか？
• RQ3 チェーン論理 $L^c_{\kappa,\kappa}$ は、このような $\kappa$ について、SUDWO を満たすチェーンモデルをもつ論理の中で最大か？
• RQ4 チェーンに依存しない $L_{\kappa,\kappa}$ の部分論理の表現力は何か？ また、長大なクライクや分岐を省略するといった古典的性質を表現できるか？
• RQ5 $L^c_{\kappa,\kappa}$ は $\kappa$-コンパクトか？ また、$L^1_\kappa$ と比較してどうか？

主な発見

• 可算の共終型をもつ特異基数 $\kappa$ で $\kappa = \beth_\kappa$ を満たすものについて、チェーン論理 $L^c_{\kappa,\kappa}$ は強い整列の定義不可能性および補間性を満たし、Shelahの $L^1_\kappa$ の核心的性質と一致する。
• チェーン論理 $L^c_{\kappa,\kappa}$ は、SUDWO を満たすチェーンモデルをもつ論理の中で最大であることが示され、Lindströmの定理の精神に沿った自然な特徴付けが得られた。
• チェーンに依存しない $L_{\kappa,\kappa}$ の部分論理は、モデルの異なる適切なチェーン分解において不変な真理を持つ文の集合として特徴付けられ、$\lambda < \kappa$ かつ $\operatorname{cf}(\lambda) > \aleph_0$ のとき、サイズ $\lambda$ のクライクを省略するといった性質を表現できる。
• チェーンモデルにおける和集合補題が証明され、チェーンのすべてのモデルで文が成り立つならば、その和集合でも成り立つことが示され、これは完全性や転送結果において不可欠である。
• $\kappa$-コンパクト性の問題は、$L^c_{\kappa,\kappa}$ が $\kappa$-コンパクトでないことを示すことによって解決された。これは長年の未解決問題であった。
• チェーン論理は、文法的に明確な $L^1_\kappa$ の代替手段を提供する。$L^1_\kappa$ には既知の文法がないが、同様の重要なモデル理論的性質を満たす。