[論文レビュー] Chain of impacting pendulums as non-analytically perturbed sine-Gordon system

H. Arodź, P. Klimas|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2005

Nonlinear Photonic Systems被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、有限範囲のカインを有する影響する振り子の鎖を、非解析的摂動を受けるサイン＝ゴルドン系として研究する。カイン幅の漸近的公式が導出され、この系をサイン＝ゴルドンソリトンに結びつける折りたたみ変換が確立され、サイン＝ゴルドン解が良好な近似を提供するが、場の端点における非解析的摂動のため、物理的系は特徴的な力学的挙動を示すことが示された。

ABSTRACT

We investigate a mechanical system consisting of infinite number of harmonically coupled pendulums which can impact on two rigid rods. Because of gravitational force the system has two degenerate ground states. The related topological kink - likely the simplest one presented in literature so far - is a compacton, that is it has strictly finite extension. In the present paper we elucidate the relation of such system with sine-Gordon model. Also, solutions describing waves with large amplitude, and an asymptotic formula for the width of the kink are obtained.

研究の動機と目的

• 調和的に結合された振り子の鎖の力学的挙動を調査すること。この系は自発的対称性の破れとトポロジカルなカインを示す。
• 非解析的摂動が存在するにもかかわらず、この系とサイン＝ゴルドンモデルとの間の数学的・物理的関係を確立すること。
• 大スケールでの延長極限において、カイン幅の漸近的公式を導出すること。
• 影響を受ける振り子系に対してサイン＝ゴルドンソリトン解を近似解として用いる有効性と限界を調査すること。

提案手法

• 系は、$ \phi \in [-\phi_0, \phi_0] $ に制限する区分的ポテンシャル $ V(\phi) $ を持つラグランジアンでモデル化される。境界での弾性衝突を保証する。
• 折りたたみ変換により、元の場 $ \phi $ を新しい場 $ \psi $ に写像し、系をサイン＝ゴルドン方程式に類似した形に変換する。
• 展開された系は、サイン＝ゴルドン系の非解析的摂動系として示され、高次フーリエモード（$ n \geq 2 $）がポテンシャルに非解析的補正をもたらす。
• 摂動は $ \sum_{n=2}^\infty \frac{\sin(n\psi)}{n} $ で表され、これは有限ではあるが $ \psi = 2k\pi $ で不連続であり、非解析的挙動を示す。
• 小角度極限（$ \phi_0 \ll 1 $）においてカイン解は $ \phi_c(\xi) = \phi_0 \sin \xi $（$ \xi \in [-\pi/2, \pi/2] $）として得られ、コンパクトサポートを持つ。
• サイン＝ゴルドンブレザー解を折りたたみ変換を用いて近似解として用い、振り子の棒間を跳ね返る周期的運動を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非解析的摂動が存在するにもかかわらず、影響を受ける振り子鎖はどのようにサイン＝ゴルドンモデルと関係しているか？
• RQ2 カイン幅が無限に拡張される極限での漸近的挙動は何か？
• RQ3 サイン＝ゴルドンソリトン解は、衝突を伴うこの系の力学的挙動を正確に記述できるか？
• RQ4 ポテンシャルにおける非解析的項は、この系を標準的なサイン＝ゴルドンモデルとどのように区別するか？
• RQ5 無限自由度系において、すりあい分岐などのカオス的または複雑な力学的挙動が可能か？

主な発見

• 小角度極限において、カインは厳密に有限な拡張 $ \pi $ を持つコンパクトンであり、$ \phi_c(\xi) = \phi_0 \sin \xi $（$ \xi \in [-\pi/2, \pi/2] $）で与えられる。
• 大スケール拡張極限においてカイン幅の漸近的公式が導出され、系がサイン＝ゴルドン系に近づくに従い幅が発散することを示した。
• 展開された系は、数学的に非解析的摂動を受けるサイン＝ゴルドン系と同等であり、摂動はポテンシャルにおけるフーリエモード $ n \geq 2 $ に起因する。
• サイン＝ゴルドンブレザー解は、振り子系の近似軌道を提供し、跳ね返り時間 $ \tau_m = \frac{\pi \sqrt{1+p^2}}{2\sqrt{2}p} $ を持つ周期的運動をもたらす。
• 非解析的摂動により、$ \psi = 2k\pi $ で有効ポテンシャルの微分に不連続性が生じ、標準的なサイン＝ゴルドンモデルには存在しない。
• 形の類似性にもかかわらず、物理的挙動は顕著に異なる：元の系は鋭い端を持つコンパクトンを示すが、サイン＝ゴルドン近似は指数的尾部を持つソリトンを生成する。