[論文レビュー] Chain Recurrence For General Spaces

Ethan Akin, Jim Wiseman|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2017

Advanced Topology and Set Theory参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、一般の位相空間および関係へとチェーン再帰の理論を拡張し、度合い空間を超えてコンリーやアブリ・マザーのチェーン関係を一般化する。バリア関数、リャプノフ関数、および適切な写像を用いて基礎的結果を確立し、チェーン関係が適切な力学において閉じており不変であることを証明する。また、一様空間およびk空間におけるコンパクト性と連続性に関する重要な結果を提示する。

ABSTRACT

The chain relation, due to Conley, and the strong chain relation, due to Easton, are well studied for continuous maps on compact metric spaces. Following Fathi and Pageault, we use barrier functions to generalize the theory to general relations on uniform spaces. In developing the theory, we indicate why the chain ideas are naturally uniform spaces concepts. We illustrate that the extension to relations is easy and is useful even for the study of the continuous map case.

研究の動機と目的

• 度合い空間から一般の位相空間および関係へ、コンリーおよびアブリ・マザーのチェーン関係の概念を一般化すること。
• 関係および一様構造を用いて、非度的な、非コンパクトな設定におけるチェーン再帰の理論的基盤を確立すること。
• 適切な写像およびコンパクト化の下でのチェーン関係の位相的および力学的性質を調査すること。
• バリア関数およびリャプノフ関数が一般空間におけるチェーン再帰を特徴付ける役割を明確にすること。
• k空間および一様空間において、適切な力学の下でチェーン関係が閉じており不変であることを証明すること。

提案手法

• 擬距離を用いて、位相空間上の関係に対するε-鎖および強ε-鎖を定義することで、チェーン再帰を一般の位相空間へ拡張する。
• コンリーのチェーン関係 $\mathcal{C}f$ を、すべての $\epsilon > 0$ に対して $x$ から $y$ へのε-鎖が存在するようなペア $(x,y)$ の集合として定義し、アブリ・マザーの関係 $\mathcal{A}_d f$ を強ε-鎖を用いて定義する。
• バリア関数 $M_d^f(x,y)$ およびリャプノフ関数 $L_d^f(x,y)$ を用いて、チェーン関係を、鎖が存在するためのεの下限として特徴付ける。
• 適切な写像およびコンパクト化の理論を適用し、ティコノフ空間およびk空間におけるチェーン関係の閉包性と不変性を保証する。
• 一般の位相空間における収束および集積点を扱うために、ネットと有向集合を用いる。
• 一様空間構造を用いて、特にチェーン関係の閉包性と連続性に関する度合いに基づく結果を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンリーおよびアブリ・マザーのチェーン関係を、度合い空間から任意の位相空間および関係へ一般化するにはどうすればよいか？
• RQ2 一般の位相空間において、チェーン関係 $\mathcal{C}f$ および $\mathcal{A}_d f$ が閉じるための条件は何か？
• RQ3 チェーン関係が適切な力学の下で不変であるための条件は何か？
• RQ4 バリア関数およびリャプノフ関数は、非度的な設定におけるチェーン再帰をどのように特徴付けるか？
• RQ5 コンパクト性および適切な写像は、チェーン関係の位相的閉包を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• コンリーのチェーン関係 $\mathcal{C}f$ は度合いの選択に依存しないが、アブリ・マザーの関係 $\mathcal{A}_d f$ は擬距離 $d$ に依存する。
• 写像 $f$ がティコノフ空間上の適切な写像であるとき、$\mathcal{C}f$ は $X \times X$ で閉じており、同様に $\mathcal{A}_d f$ は同じ条件下で閉じている。
• 写像 $f$ がティコノフ空間上の適切な写像であるとき、$\mathcal{C}f$ は $f$-不変である。すなわち $f(\mathcal{C}f) \subset \mathcal{C}f$ が成り立つ。
• ティコノフ空間上の適切な写像 $f$ に対して、チェーン関係 $\mathcal{C}f$ および $\mathcal{A}_d f$ は $X \times X$ で閉じている。
• k空間において、$f$ が適切で $B \subset Y$ がコンパクトであるとき、$f^{-1}(B)$ はコンパクトであり、コンパクト集合の逆像がコンパクトであることが保証される。
• 適切な写像の合成は適切であり、適切な写像は逆像においてコンパクト性を保つ。これは、チェーン関係の閉包性を証明する上で不可欠である。