[論文レビュー] Chains of compact cylinders for cusp-generic nearly integrable convex systems on $\mathbb{A}^3$

Jean-Pierre Marco|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2016

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{A}^3 = \mathbb{T}^3 \times \mathbb{R}^3$ 上のcusp-一般なほぼ可積分な凸ハミルトニアン系において、アーノルド拡散の幾何的骨格をなす、コンパクトで通常双曲的である3次元シリンダーの鎖の存在を確立する。共振近傍での平均化とKAM型の保存性を用いて、$k$ が十分に大きい一般の $C^\kappa$ パラメータ（$k$ が大きい）に対して、与えられたエネルギー準位でこのような鎖が存在し、作用空間内の所定の開集合と交差することを証明する。これにより、拡散軌道がそれらを通過してドリフトすることが可能になる。

ABSTRACT

This paper is the first of a series of three dedicated to a proof of the Arnold diffusion conjecture for perturbations of {convex} integrable Hamiltonian systems on $\mathbb{A}^3=\mathbb{T}^3 imes \mathbb{R}^3$. We consider systems of the form $H(θ,r)=h(r)+f(θ,r)$, where $h$ is a $C^κ$ strictly convex and superlinear function on $\mathbb{R}^3$ and $f\in C^κ(\mathbb{A}^3)$, $κ\geq2$. Given $e> extrm{Min}\,h$ and a finite family of arbitrary open sets $O_i$ in $\mathbb{R}^3$ intersecting $h^{-1}(e)$, a diffusion orbit associated with these data is an orbit of $H$ which intersects each open set $\widehat O_i=\mathbb{T}^3 imes O_i\subset\mathbb{A}^3$. The first main result of this paper (Theorem I) states the existence (under cusp-generic conditions on $f$ in Mather's terminology) of "chains of compact and normally hyperbolic invariant $3$-dimensional cylinders" intersecting each $\widehat O_i$. Diffusion orbits drifting along these chains are then proved to exist in subsequent papers. The second main result (Theorem II) consists in a precise description of the hyperbolic features of classical systems (sum of a quadratic kinetic energy and a potential) on $\mathbb{A}^2=\mathbb{T}^2 imes\mathbb{R}^2$, which is a crucial step to prove Theorem I.

研究の動機と目的

• アーノルド拡散を証明するための不変シリンダーの双曲的骨格を、$\mathbb{A}^3$ 上のほぼ可積分な凸ハミルトニアン系に構成すること。
• 作用空間内の所定の開集合と交差する、コンパクトで通常双曲的な3次元シリンダーの鎖の存在を確立すること。
• 3次元構成の基礎として、$\mathbb{A}^2$ 上の古典的系の双曲的構造を分析すること。
• これらの鎖がホモクライン接続を支持することを証明し、微小な摂動のもとで拡散軌道がそれらを通過してドリフトできることを可能にすること。
• cusp-一般な摂動を用いた凸設定におけるアーノルド拡散予想の幾何的枠組みを提供すること。

提案手法

• 高速角に関する平均化によって得られる正準形を用いて、共振近傍での系を近似する。単純な共振曲線と強い二重共振点を区別する。
• 通常双曲的不変多様体の理論を用い、平均化系からの不変構造を完全系に持ち上げる。双曲性と不変性を保つ。
• KAM型の結果を適用して、シリンダーの不変境界（2次元トーラス）が微小摂動のもとで保存されることを保証する。
• 古典的系を構成のブロックとして用い、臨界エネルギーおよび無限大エネルギー近傍でのホモクライン接続を持つ2-アンビエントと特異アンビエントの鎖の存在を証明する。
• $\mathbb{R}^2$ 内の長方形上にホースシューズ構造を構成し、遷移行列と記号的力学系を用いて不変集合を符号化する。
• 下から半連続な閾値 $k\boldsymbol{\varepsilon}(\mathbf{f}) > 0$ を確立し、$e \in (0, \boldsymbol{\varepsilon}(\mathbf{f}))$ に対して、摂動系 $H = h + \varepsilon \mathbf{f}$ が所望の鎖を有することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 cusp-一般なほぼ可積分な凸系において、$\mathbb{A}^3$ 上にコンパクトで通常双曲的な3次元シリンダーの鎖を構成できるか？
• RQ2 古典的系（運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの和が二次形式）の$\mathbb{A}^2$ 上の動的特徴のうち、このような鎖を構築するために本質的であるものは何か？
• RQ3 シリンダー間のホモクライン接続は、作用空間内の所定の開集合を通過する拡散軌道のドリフトをどのように可能にするか？
• RQ4 強い二重共振点と単純な共振曲線は、双曲的骨格形成において果たす役割は何か？
• RQ5 摂動 $k$ に対してどのような条件下で、任意に小さい $e > 0$ に対してこのような鎖が存在するか？

主な発見

• $k$ が十分に大きく、$\mathbf{f}$ が $C^\kappa(\mathbb{A}^3)$ の単位球面の開・稠密部分集合にあるとき、下から半連続な閾値 $k\boldsymbol{\varepsilon}(\mathbf{f}) > 0$ が存在し、$\varepsilon \in (0, \boldsymbol{\varepsilon}(\mathbf{f}))$ に対して $H = h + \varepsilon \mathbf{f}$ が、各 $\widehat{O}_i$ と交差するコンパクトで通常双曲的な3次元シリンダーの鎖を有する。
• シリンダーは $\mathbb{T}^2 \times [0,1]$ または $\mathbb{T} \times (\text{3つの穴あき球面})$ に微分同相であり、エネルギー準位 $H^{-1}(\mathbf{e})$ に含まれる。
• 単純な共振曲線近傍では、ペンドulum族の固定点と $\mathbb{T}^2$ の積として得られるが、強い二重共振点近傍では、古典的 $\mathbb{A}^2$ 系からの2-アンビエントまたは特異アンビエントと $\mathbb{T}$ の積として得られる。
• 任意の整数ホモロジー類 $c$ に対して、古典的 $\mathbb{A}^2$ 系に、$c$ を実現するホモクライン接続を持つ2-アンビエントの鎖を構成し、臨界エネルギーおよび無限大エネルギー近傍で漸近的であることを示す。
• 古典的 $\mathbb{A}^2$ 系には特異アンビエントが存在し、各ホモロジー類 $c$ に対応する鎖は、この特異アンビエントとホモクライン接続を持つ。
• 完全系は平均化モデルからの豊富なホモクラインおよびホモクライン構造を引き継ぎ、拡散軌道が鎖に沿ってドリフトする存在を保証する。