[論文レビュー] Champs algébriques et foncteur de Picard

Sylvain Brochard|ArXiv.org|Aug 24, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

本学位論文は、代数的スタックにおけるピカール関手の理論を展開し、代表可能性、有限性、分離性といった基礎的性質を確立する。特に、擬コンパクトかつ擬分離的代数的スタックのピカール関手は、適切な条件下で代数的空間によって代表可能であることを証明し、その変形理論および連結成分構造について詳細に研究している。

ABSTRACT

This text is my thesis, defended in June 2007, in the status it was at this time. The most important results are contained in the article "Foncteur de Picard d'un champ algébrique" to appear in "Mathematische Annalen" (see the preprint arXiv:0711.4545). In the article, some results have been added, and some previous results have been strengthened. However, the proofs of the results contained in the appendix (concerning the smooth-étale cohomology on an algebraic stack) have been removed. The thesis is only put on the ArXiv to provide a more lasting reference than my webpage for these proofs.

研究の動機と目的

• スキーム上の古典的ピカール群を一般化して、代数的スタックにおけるピカール関手の包括的な理論を構築すること。
• 代数的スタックの文脈において、ピカール関手の代表可能性基準を確立すること。
• ピカール関手の幾何的性質、特に有限性、分離性、連結成分について研究すること。
• シュレッシン거型の条件を用いて、代数的スタック上の可逆層の変形理論を分析すること。
• 特に滑らか・エタールコホモロジーを用いた、ピカール関手を研究するための基礎的コホモロジー的道具を提供すること。

提案手法

• 降下およびスタック論的技法を用いて、グロタンディークの古典的ピカール関手理論を代数的スタックの文脈に適応する。
• 代数的スタック上の滑らか・エタールコホモロジーを用い、スペクトル系列および基底変換定理を含む。
• シュレッシンジャーの変形関手の基準を適用して、ピカール関手の局所構造を研究する。
• fppfおよび滑らか・エタールコホモロジーの比較を用いて、ピカール関手とコホモロジー的不変量との関係を明らかにする。
• ファイバー成分およびZ係数付きコホモロジーを用いて、ピカール関手のニュートラル成分を導入・分析する。
• 有限性条件、射影極限との可換性、および局所分離性基準を組み合わせることで、代表可能性結果を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数的スタックのピカール関手が代数的空間によって代表可能となる条件は何か？
• RQ2 ピカール関手は基底変換および射影極限においてどのように振る舞うか？
• RQ3 ピカール関手が分離的または擬分離的であるための必要十分条件は何か？
• RQ4 スタック上の可逆層の変形理論は、ピカール関手の局所構造とどのように関係するか？
• RQ5 スタックのピカール関手における単位元の連結成分の構造は何か？

主な発見

• 擬コンパクトかつ擬分離的代数的スタックのピカール関手は、スタックが局所的に有限型であり、切断を持つ場合、代数的空間によって代表可能である。
• 適切な有限性条件のもとで、ピカール関手はスキームの射影極限と可換である。
• スタックが局所分離性の価値的基準を満たす場合、ピカール関手は局所的に分離的である。
• 正規スタック上では、Z係数付きコホモロジーを用いてピカール関手のニュートラル成分が記述できる。
• 代数的スタックの滑らか・エタールコホモロジーはうまく振る舞い、スペクトル系列および基底変換の議論が可能である。
• 平坦性および有限型の仮定のもとで、相対ピカール関手は代表可能であり、スキーム上の古典的結果を一般化する。