[論文レビュー] Champs d'holonomie markoviens planaires: Un premier pas vers la caractérisation des champs d'holonomie markoviens

Franck Gabriel|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2014

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 20被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、平面における経路をインデックスとする、コンパクトなリー群値の確率過程としての平面的マルコフ的ホロノミー場を導入し、面積保持ホメオモルフィズムおよびブレード群の下で不変であることを示す。著者は、無限の確率的系列に対するブレード不変型de Finetti定理を新たに構築し、平面ヤン・ミルズ場を構成する。さらに、すべての正則な平面的マルコフ的ホロノミー場が、それらのヤン・ミルズ場と同値であることを証明し、分割関数と分解測度を用いて球面的部品を完全に特徴づける。

ABSTRACT

We study planar random holonomy fields which are processes indexed by paths on the plane which behave well under the concatenation and orientation-reversing operations on paths. We define the Planar Markovian Holonomy Fields as planar random holonomy fields which satisfy some independence and invariance by area-preserving homeomorphisms properties. We use the theory of braids in the framework of classical probabilities: for finite and infinite random sequences the notion of invariance by braids is defined and we prove a new version of the de-Finetti's Theorem. This allows us to construct a family of Planar Markovian Holonomy Fields, the Yang-Mills fields, and we prove that any regular Planar Markovian Holonomy Field is a planar Yang-Mills field. This family of planar Yang-Mills fields can be partitioned into three categories according to the degree of symmetry: we study some equivalent conditions in order to classify them. Finally, we recall the notion of Markovian Holonomy Fields and construct a bridge between the planar and non-planar theories. Using the results previously proved in the article, we compute, for any Markovian Holonomy Field, the "law" of any family of contractible loops drawn on a surface.

研究の動機と目的

• 平面における経路をインデックスとし、コンパクトなリー群値の確率過程としての平面的マルコフ的ホロノミー場を定義し、その性質を研究すること。
• ブレード群作用による対称性を確立し、無限の確率的系列に対するde Finetti型定理の新展開を導くこと。
• このようなホロノミー場の代表的クラスとして平面ヤン・ミルズ場を構築し、その特徴づけを行うこと。
• すべての正則な平面的マルコフ的ホロノミー場が平面ヤン・ミルズ場と同値であることを証明し、対称性と分割関数を用いて分類すること。
• 測度の分解と分割関数の恒等式を用いて、任意の正則マルコフ的ホロノミー場の球面的部品を計算すること。

提案手法

• 経路乗法的関数に対する公理的構造を用いて、平面的マルコフ的ホロノミー場を定義し、連結、向きの反転、面積保持ホメオモルフィズムに関する不変性を満たす。
• ブレード群を穴あきディスクの微分同相群として定義し、それを平面における確率過程と関連付けることで、ブレード不変性を定式化する。
• 群内の無限の確率的変数列に対して、ブレード不変型de Finetti定理を構築し、古典的な交換可能性をブレード対称性へ一般化する。
• ホロノミー構成の摂動された一様測度の離散的極限を用いて、平面ヤン・ミルズ場を構成し、曲率ノイズとしてLévy過程を用いる。
• AxiムA3、A5、A6を適用し、測度を部分領域への制限と分割関数の使用によって、曲面上の測度を分解する。
• 境界ホロノミーに関する測度の分解を用いて、場の球面的部品を計算し、分割関数の恒等式を用いてHF測度とYM測度の等価性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平面における経路をインデックスとし、コンパクトなリー群値の確率過程が、平面的マルコフ的ホロノミー場とみなされるための必要十分条件は何か？
• RQ2 ブレード不変性は、群要素の無限の確率的系列の分布にどのような制約を課えるか。また、これにより新たなde Finetti型定理が導けるか？
• RQ3 すべての正則な平面的マルコフ的ホロノミー場は、平面ヤン・ミルズ場と同一視可能か。もしそうならば、どのような対称性条件下で成立するか？
• RQ4 正則マルコフ的ホロノミー場の球面的部品の明確な構造は何か。また、分割関数とどのように関係しているか？
• RQ5 平面における自由境界条件期待値は、連続的および離散的平面ヤン・ミルズ場とどのように関係するか？

主な発見

• すべての正則な平面的マルコフ的ホロノミー場が、対称性と確率的連続性を用いて完全に分類可能であり、平面ヤン・ミルズ場と同値であることを示した。
• 任意の正則マルコフ的ホロノミー場の球面的部品は、境界ホロノミーに関する測度の分解によって完全に特徴づけられ、境界上でのHF測度とYM測度が等価であることを示した。
• HF場とYM場の分割関数は同一であり、これにより、同じZ+2,0,s関数を用いて、制限された経路構成における測度の同定が可能である。
• 任意の円板型の曲面Mとその面積測度volに対して、自由境界条件期待値EHF_M,volは、純粋な連続的平面ヤン・ミルズ場EY_volに等しく、離散的および連続的極限の整合性を示した。
• 任意のxに対して、c_HF(M,vol,∅,{∂M→[x]}) = d_YM(M,vol,∅,{∂M→[x]})がほとんど everywhere で成り立ち、連続性および不変性により、すべての点で成り立つことが示され、測度の完全な等価性が証明された。
• 正則マルコフ的ホロノミー場の球面的部品は、群上の重み付き積分として計算され、重みは分割関数と境界ホロノミー密度で与えられ、YM測度の構造が確認された。