[論文レビュー] Champs de vecteurs et formes différentielles sur une variété des points proches

Basile Guy Richard Bossoto, Eugène Okassa|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2010

Advanced Topics in Algebra参考文献 8被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、滑らかな多様体 $M$ とアンドレ・ヴェイユの意味における局所代数 $A$ に関連する近傍点の多様体 $M^A$ 上のベクトル場および微分形式の新しい枠組みを提示する。この枠組みにより、ベクトル場の加群 $\mathfrak{X}(M^A)$ が $A$ 上のリーリー代数をなすことが確立され、$A$-微分形式のコホモロジー理論が構築される。さらに、$M^A$ の $d^A$-コホモロジーが $A \otimes H_{\text{dR}}^p(M)$ に同型であることが示され、これによりデ・ラームコホモロジーが無限小近傍の文脈へ拡張される。

ABSTRACT

Let M be a smooth manifold, A a local algebra in sense of André Weil, M^{A} the manifold of near points on M of kind A and X(M^{A}) the module of vector fields on M^{A}. We give a new definition of vector fields on M^{A} and we show that X(M^{A}) is a Lie algebra over A. We study the cohomology of A-differential forms.

研究の動機と目的

• 局所代数 $A$ 上の導分を用いて、近傍点多様体 $M^A$ 上のベクトル場を再定義すること。
• 近傍点多様体 $M^A$ 上のベクトル場の加群 $\mathfrak{X}(M^A)$ が $A$ 上の自然なリーリー代数構造を有することを確立すること。
• $M^A$ 上の $A$-微分形式のコホモロジー理論を構築し、それと $M$ の古典的デ・ラームコホモロジーとの関係を明らかにすること。

提案手法

• 各 $\xi \in M^A$ において、積分法則 $v(fg) = v(f)\cdot g^A(\xi) + f^A(\xi)\cdot v(g)$ を満たす $\mathbb{R}$-線形導分 $v: C^\infty(M) \to A$ として、$M^A$ 上のベクトル場を定義する。
• 接空間 $T_\xi M^A$ と $A$-加群 $\text{Der}_\xi[C^\infty(M), A]$ 間の同型を構成することで、$T_\xi M^A$ に $A$-加群構造を導入する。
• 写像 $\gamma: C^\infty(M) \to A \otimes C^\infty(M^A)$ を用いて、$M$ 上の微分形式の引き戻しにより $M^A$ 上の $A$-微分形式を定義し、外微分 $d$ を $\Lambda(M^A, A)$ 上の $A$-線形作用素 $d^A$ に拡張する。
• 同型 $\sigma: C^\infty(M^A, A) \to A \otimes C^\infty(M^A)$ を用いて、$M^A$ 上の $A$-値滑らか関数を $A$-テンソルとして $C^\infty(M^A)$ 上に同定する。
• $\omega \in \Lambda(M)$ に対して $d^A(\omega^A) = (d\omega)^A$ が成り立つことを証明し、微分作用素が $A$-構造と整合することを保証する。
• $M^A$ の $d^A$-コホモロジーが $A \otimes H_{\text{dR}}^p(M)$ に自然同型であることを確立し、特に $M^A$ が連結のとき $H^0(M^A, A) \cong A$ であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 近傍点多様体 $M^A$ 上のベクトル場は、局所代数 $A$ 上の導分を用いてどのように再定義できるか？
• RQ2 近傍点多様体 $M^A$ 上のベクトル場の加群 $\mathfrak{X}(M^A)$ は、$A$ 上でどのような代数的構造を有するか？
• RQ3 $M$ 上の外微分は、$M^A$ 上の $A$-値微分形式にどのように拡張され、微分作用素 $d^A$ として作用するか？
• RQ4 $M^A$ の $d^A$-コホモロジーと $M$ の古典的デ・ラームコホモロジーの関係は何か？
• RQ5 $M^A$ の $d^A$-コホモロジーが、$M$ のデ・ラームコホモロジーの $A$-テンソル積を回復するための条件は何か？

主な発見

• 近傍点多様体 $M^A$ 上のベクトル場の加群 $\mathfrak{X}(M^A)$ は、導分の交換子によって誘導される $A$ 上のリーリー代数をなすことが示された。
• $M^A$ の $d^A$-コホモロジーは $A \otimes H_{\text{dR}}^p(M)$ に同型であり、$A$-微分形式のコホモロジーが $A$ と $M$ のデ・ラームコホモロジーのテンソル積に一致することを示した。
• 連結な多様体 $M^A$ に対して、零番目のコホモロジー群 $H^0(M^A, A)$ は $A$ に自然同型である。これは古典的な結果 $H^0(M, \mathbb{R}) \cong \mathbb{R}$ を一般化するものである。
• $\Lambda(M)$ から $\Lambda(M^A, A)$ への引き戻し写像 $\omega \mapsto \omega^A$ は、$\mathbb{R}$-代数の次数付き可換な準同型であり、外微分を整合させる：$d^A(\omega^A) = (d\omega)^A$。
• 同型 $\sigma$ を通じた $C^\infty(M^A, A) \cong A \otimes C^\infty(M^A)$ の同定により、$C^\infty(M)$ 上の導分から $M^A$ 上のベクトル場への $A$-加群構造の転送が可能となり、$A$-リーリー代数構造の構成が可能になった。
• この構成は $A$ の基底の選び方に依存しないため、$\mathfrak{X}(M^A)$ 上の $A$-加群構造が適切に定義され、内在的であることが保証された。