[論文レビュー] Chance Constrained Mixed Integer Program: Bilinear and Linear Formulations, and Benders Decomposition

Bo Zeng, Yu An+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2014

Optimization and Mathematical Programming参考文献 38被引用数 38

ひとこと要約

本稿では、有限な離散的シナリオを伴う確率制約付き混合整数プログラミング問題（CC-MIP）に対して、新たな双線形混合整数定式化を提案し、より強い線形同等形を導出し、Jensenの不等式の変種および構造的カットを組み込んだ双線形Benders分解法を開発する。この手法は、CC-MIPの解法または不可行性の検出において、商業的ソルバーと比較して10倍の性能を発揮する。

ABSTRACT

In this paper, we study chance constrained mixed integer program with consideration of recourse decisions and their incurred cost, developed on a finite discrete scenario set. Through studying a non-traditional bilinear mixed integer formulation, we derive its linear counterparts and show that they could be stronger than existing linear formulations. We also develop a variant of Jensen's inequality that extends the one for stochastic program. To solve this challenging problem, we present a variant of Benders decomposition method in bilinear form, which actually provides an easy-to-use algorithm framework for further improvements, along with a few enhancement strategies based on structural properties or Jensen's inequality. Computational study shows that the presented Benders decomposition method, jointly with appropriate enhancement techniques, outperforms a commercial solver by an order of magnitude on solving chance constrained program or detecting its infeasibility.

研究の動機と目的

• 有限なシナリオ集合を伴う確率制約付き混合整数プログラミング問題（CC-MIP）の解法における計算的課題に対処すること。
• 確率制約の構造を活用して、従来のbig-Mアプローチよりも強い線形定式化を、非伝統的な双線形定式化から導出すること。
• 確率制約付きプログラムに適したJensenの不等式の一般化を提案し、有効な不等式と緩和のタイトニングを支援すること。
• 構造的性質を活用し、強化されたカットを組み込んだ双線形Benders分解のフレームワークを設計し、性能を向上させること。
• 提案されたBendersフレームワークが、頑健で汎用的であり、最先端の商業的ソルバーと比較して著しく高速であることを実証すること。

提案手法

• バイナリ変数がシナリオ違反を示す双線形混合整数計画問題としてCC-MIPを定式化し、1次段階の意思決定とシナリオ固有の制約を双線形項で連結する。
• 確率制約の構造を活用して、標準的なbig-M定式化よりも強い線形同等形を導出する。
• 確率制約付きプログラムに特化したJensenの不等式の変種を提案し、期待リカバリー費用のタイトな下限を得る。
• マスタープロブレム（1次段階意思決定）とサブプロブレム（シナリオ固有の実行可能性・最適性カット）に問題を分解する双線形Benders分解アルゴリズムを開発する。
• 強化戦略を統合する：(1) 不可行な部分系（IIS）に基づく有効な不等式、(2) 混合集合構造からの強いカット、(3) Jensenに基づくカットを用いてマスタープロブレムをタイトニングする。
• ウォームスタート戦略と適応的カット生成を実装し、Bendersフレームワーク内の収束を加速する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 CC-MIPに非伝統的な双線形定式化を適用することで、従来のbig-M定式化よりも強い線形緩和が得られるか？
• RQ2 リカバリー意思決定を伴う確率制約付きプログラムにおいて、Jensenの不等式をどのように一般化して有効な不等式を支援できるか？
• RQ3 制限のない仮定を設けずに、一般CC-MIPを効果的に解くことのできる双線形Benders分解フレームワークを設計できるか？
• RQ4 IISカット、混合集合不等式、Jensenベースのカットといった強化技術が、CC-MIPにおけるBenders分解の性能にどの程度寄与するか？
• RQ5 提案されたBenders法は、CC-MIPインスタンスの解法または不可行性の証明において、商業的ソルバーを著しく上回る性能を示すか？

主な発見

• 双線形表現から導出した線形定式化は、標準的なbig-M定式化よりも強く、よりタイトなデュアルギャップと高速な収束を実現する。
• 強化された双線形Benders分解法は、平均して商業ソルバー（CPLEX）と比較して、CC-MIPインスタンスの解法を最大10倍速く処理する。
• 不可行性検出において、テストセット全体で平均解法時間を、CPLEXの2000秒以上から400秒未満に短縮する。
• Jensenの不等式の変種を統合することで、期待リカバリー費用の下限がタイトになり、一部のインスタンスで最適ギャップが最大70％まで削減される。
• IISおよび混合集合カットを統合したBendersフレームワークは、特にリスクが高い（εが大きい）シナリオにおいて、反復回数と最適ギャップを顕著に削減する。
• 最も高度なバージョン（BD1RJ）を用いると、全テストインスタンスで平均ギャップが1.94％に低下する一方で、CPLEXでは40.2％にとどまるため、優れた解の品質と高速性を実証する。