[論文レビュー] Chance-constrained optimization with tight confidence bounds

Mark Cannon|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2017

Risk and Portfolio Optimization参考文献 21被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、確率制約最適化におけるランダムサンプル破棄戦略を提案し、従来の手法と比較して解の実行可能性に関する信頼区間をより厳密に抑えられる。独立サンプリングと経験的違反検証を用いることで、問題の特定のクラスに対して正確な事後信頼区間を有する繰り返しシナリオ法を実現し、決定的破棄戦略と比較して近似精度を顕著に向上させる。

ABSTRACT

Convex sample approximations of chance-constrained optimization problems are considered, in which chance constraints are replaced by sets of sampled constraints. We propose a randomized sample selection strategy that allows tight bounds to be derived on the probability that the solution of the sample approximation is feasible for the original chance constraints when a subset of the sampled constraints is discarded. These confidence bounds are shown to be tighter than the bounds that apply if constraints are discarded according to optimal or greedy discarding strategies. We further show that the same confidence bounds apply to solutions that are obtained from a two stage process in which a sample approximation of a chance-constrained problem is solved, then an empirical measure of the violation probability of the solution is obtained by counting the number of violations of an additional set of sampled constraints. We use this result to design a repetitive scenario approach that meets required tolerances on violation probability given any specified a priori and a posteriori probabilities. These bounds are tighter than confidence bounds available for previously proposed repetitive scenario approaches, and we show that the posterior bounds are exact for a particular problem subclass. The approach is illustrated through numerical examples, and extensions to problems involving multiple chance constraints are discussed.

研究の動機と目的

• 非無視可能な違反確率を有する確率制約に対して、高い近似精度を達成するための既存のシナリオ手法の限界を克服すること。
• 最適またはグリーディな破棄手法よりも、解の実行可能性に関する事前および事後信頼区間をより厳密に抑えるランダムサンプル選択戦略を開発すること。
• 指定された違反確率の許容誤差を満たすように、改善された信頼区間を有する繰り返しシナリオ法を設計すること。
• 提案された信頼区間が特定の問題クラスに対して正確であることを示し、信頼性と正確性を向上させること。

提案手法

• 制約を決定的最適化やヒューリスティクスではなく、ランダムに選択・破棄するランダムサンプル破棄戦略を提案する。
• 二項分布およびベータ分布の組み合わせ的性質を活用して、サンプリング問題の解が元の確率制約を満たす確率に関するタイトな信頼区間を導出する。
• 二段階プロセスを導入：まずサンプル問題を解き、次に独立したサンプル集合上で違反確率を評価して経験的事後信頼区間を取得する。
• 繰り返しシナリオ法を適用し、独立したマルチサンプルを用いて反復的にサンプリング、問題解決、および検証を繰り返し、信頼区間を精緻化する。
• 信頼区間を表現するためにベータ分布と正則化不完全ベータ関数を用い、特定の問題クラスに対して正確な事後信頼区間を可能にする。
• ブルーの不等式および全確率の法則を用いて、事前と事後信頼区間を統合し、保守的ではあるがタイトな全体の信頼推定値を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率制約最適化において、決定的またはグリーディな破棄戦略と比較して、ランダムサンプル破棄戦略が解の実行可能性に関する信頼区間をより厳密に抑えられるか。
• RQ2 違反確率の許容誤差を満たすように、改善された信頼区間を有する繰り返しシナリオ法をどのように設計できるか。
• RQ3 提案された信頼区間が、特定の確率制約問題のクラスに対して正確であるか。
• RQ4 独立した検証サンプルを用いることで、事後信頼区間を保守的ではなく、かつ従来手法のものよりもタイトにできるか。
• RQ5 サンプルサイズとランダム化の影響が、解の実行可能性保証の正確性と信頼性に与える影響は何か。

主な発見

• 提案されたランダム破棄戦略は、最適またはグリーディな破棄戦略よりも信頼区間がタイトであり、近似精度が向上する。
• 導出された信頼区間は、追加の問題固有の情報がなければ向上できないほどタイトである。
• 特定の問題クラスに対して、事後信頼区間は正確であり、真の違反確率分布と一致する。
• 繰り返しシナリオ法は、先行研究のものよりも事前信頼区間がタイトであることを達成し、式 (4.3) の境界が明示的に導出され、検証されている。
• 正確性が証明された問題クラスにおいて、事後信頼区間（式 4.1）は非保守的であり、信頼性が向上していることを示している。
• 数値例により、本手法の有効性が示され、複数の確率制約への拡張についても議論されており、スケーラビリティとロバストネスが示されている。