[論文レビュー] Chance-constrained quasi-convex optimization with application to data-driven switched systems control

Guillaume O. Berger, Raphaël M. Jungers+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2021

Risk and Portfolio Optimization被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、確率的制約付き凸最適化を準凸問題のサブクラスに拡張する枠組みである、確率的制約付き準線形最適化を導入する。最適性を保持する有界な本質的制約集合の存在を証明し、データ駆動制御における確率的保証を可能にする。主な貢献は、ブラックボックスのスイッチング線形系の共同スペクトル半径（JSR）の確率的上界・下界を、サンプルされた軌道のみを用いて、サンプル効率の良い方法で計算するものである。

ABSTRACT

We study quasi-convex optimization problems, where only a subset of the constraints can be sampled, and yet one would like a probabilistic guarantee on the obtained solution with respect to the initial (unknown) optimization problem. Even though our results are partly applicable to general quasi-convex problems, in this work we introduce and study a particular subclass, which we call "quasi-linear problems". We provide optimality conditions for these problems. Thriving on this, we extend the approach of chance-constrained convex optimization to quasi-linear optimization problems. Finally, we show that this approach is useful for the stability analysis of black-box switched linear systems, from a finite set of sampled trajectories. It allows us to compute probabilistic upper bounds on the JSR of a large class of switched linear systems.

研究の動機と目的

• 制約の一部しかサンプルできない状況下での不確実性下での最適化を扱う課題に取り組むこと、特にデータ駆動制御の文脈において。
• 準凸問題に特化した確率的制約付き最適化の理論的枠組みを構築すること、特に「準線形問題」と呼ばれる新しいサブクラスに焦点を当てる。
• 有限個の制約しかサンプルできない状況でも、解の品質に対する確率的保証を提供することにより、未知のシステム行動に対してロバストであることを保証すること。
• システムのダイナミクスが未知であるが軌道が観測可能なブラックボックスのスイッチング線形系の安定性解析へのフレームワークの有効性を示すこと。
• データ駆動とモデルベース制御の間のギャップを埋め、複雑なハイブリッド系の効率的かつ確率的に保証された解析を可能にすること。

提案手法

• 決定変数に関して線形で、パラメーターベクトルに関して準凸である制約関数からなる、準線形問題を定義する。
• 全制約集合と同一の最適解をもたらす、濃度が有界な「本質的集合」の存在を証明し、制約の連続的縮小を仮定しないより強い仮定と、よりタイトな境界により、先行研究を改善する。
• 準線形問題の構造を活用して、元々凸問題に開発された確率的制約付き最適化技術を、非凸だが構造的であるこのクラスに拡張する。
• スイッチング線形系の安定性解析にこのフレームワークを適用し、共同スペクトル半径（JSR）の計算を準線形最適化問題として定式化する。
• サンプルされたシステムの軌道を用いて線形不等式を生成し、それらがシステムの挙動を表すようにし、その後確率的制約付き最適化を適用してJSRの確率的境界を計算する。
• 単位球面上での一様なサンプリングを保つために直交行列を用いた射影ステップを導入し、サンプルされた制約の統計的妥当性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率的制約付き最適化は、凸問題から準凸問題へ一般化可能であるか、特にデータ駆動制御の文脈において。
• RQ2 準凸問題のどのような構造的性質が、最適性を保つ有限で有界な本質的制約集合の存在を可能にするか。
• RQ3 有限個の制約しかサンプルできない状況で、最適化解に対する確率的保証をどのように確立できるか。
• RQ4 このフレームワークは、ダイナミクスが未知のスイッチング線形系の安定性解析に効果的に適用可能か。
• RQ5 提案手法のサンプル効率は、既存のJSR推定のデータ駆動的手法と比較してどの程度優れているか。

主な発見

• 本稿では、準線形問題において、決定変数の次元を表す $ n $ とすると、全制約集合と同一の最適解をもたらす本質的制約集合の濃度が $ n $ 以下であることが示された。
• 本質的集合のサイズの上限は、従来の結果から「連続的に縮小する制約」の仮定を排除し、よりタイトな境界を提供することで改善された。
• 提案手法により、有限個のサンプルされた軌道のみを用いても、スイッチング線形系の共同スペクトル半径（JSR）の確率的上界・下界を計算可能である。
• 数値実験では、提案手法の境界は、Kenanianら（2019）の手法よりも少ないサンプル数で真のJSRに収束し、同じ信頼水準（$ eta = 0.05 $）を達成した。
• このフレームワークは、システム行列が未知だが状態軌道が観測可能なマルチエージェントネットワークのコンSENSUSなど、実世界のデータ駆動制御問題に適用可能である。
• このアプローチは、他の制御問題へも一般化可能であり、例えばLMI制約をサンプルされた線形不等式に置き換えることで、SDPを確率的制約付き最適化に適した準線形計画問題に変換できる。