[論文レビュー] Chang Palais-Smale condition and global inversion

Olivia Gutú|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2018

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、実バナッハ空間間の局所 $C^1$-微分同相写像 $f: X \to Y$ が全空間 $C^1$-微分同相写像であるための十分条件を確立する。すなわち、すべての $y \in Y$ に対して、関数 $x \mapsto \frac{1}{2}\|f(x) - y\|^2$ がチャング・パライス・スメール条件を満たすならば、$f$ はノルム強制的であり、全空間で逆写像をもつ。この結果は、変分法的手法を用いてパライス・スメール条件と全空間逆写像性の関係を結ぶことで、古典的な全空間逆写像定理を一般化する。

ABSTRACT

Let f be local diffeomorphism between real Banach spaces. We prove that if the locally Lipschitz functional F(x)=1/2|f(x)-y|^2 satisfies the Chang Palais-Smale condition for all y in the target space of f, then f is a norm-coercive global diffeomorphism. We also give a version of this fact for a weighted Chang Palais-Smale condition. Finally, we study the relationship of this criterion to some classical global inversion conditions.

研究の動機と目的

• 実バナッハ空間間の局所 $C^1$-微分同相写像が全空間 $C^1$-微分同相写像であるための十分条件を確立すること。
• 関数 $f$ から導かれる特定の関数のパライス・スメール条件を用いて、古典的なバナッハ＝マザール＝カッチォッリの定理を一般化すること。
• パライス・スメール条件と、ハダマール＝レヴィ＝プラストックやカトリエルの古典的全空間逆写像基準との関係を明確にすること。
• 無限次元設定における非滑らか関数への一般化として、チャング・パライス・スメール条件の重み付きバージョンを導入し、その性質を分析すること。

提案手法

• 各 $y \in Y$ に対して、関数 $F_y(x) = \frac{1}{2}\|f(x) - y\|^2$ を定義する。これは $Y$ がヒルバート空間であるとき、局所リプシッツ的かつ $C^1$-滑らかである。
• 関数 $F_y$ にチャング・パライス・スメール条件を適用する。すなわち、$F_y(x_n)$ が有界で、$\|\nabla F_y(x_n)\| \to 0$ を満たす任意の列 $\{x_n\}$ が収束部分列をもつこと。
• 非滑らか関数に対するモトレアヌらの結果を一般化するため、チャング・パライス・スメール条件の重み付きバージョンを導入する。
• エケランの変分原理とマウンテン・パス型の議論を用いて、パライス・スメール条件から単射性と全射性を導出する。
• 古典的基準との関係を示す：ハダマール＝レヴィ＝プラストック条件が、ある重み付きバージョンのチャング・パライス・スメール条件を含むことを示す。
• 関数 $F_y$ にパライス・スメール条件が成り立つならば、$f$ はノルム強制的であり、全空間で逆写像可能であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実バナッハ空間間の局所 $C^1$-微分同相写像が全空間 $C^1$-微分同相写像であるための条件は何か？
• RQ2 関数 $F_y(x) = \frac{1}{2}\|f(x) - y\|^2$ がチャング・パライス・スメール条件を満たすと、$f$ の全空間逆写像性はどのように保証されるか？
• RQ3 パライス・スメール条件と、バナッハ＝マザール＝カッチォッリ、ハダマール＝レヴィ＝プラストック、カトリエルの定理といった古典的全空間逆写像定理との関係は何か？
• RQ4 重み付き定式化を用いて、パライス・スメール条件をより広い無限次元設定に一般化できるか？
• RQ5 条件 $\inf_{|x|\leq \rho}\|df(x)^{-1}\|^{-1} \to \infty$ が $\rho \to \infty$ のとき成り立つならば、関数 $F_y$ は重み付きチャング・パライス・スメール条件を満たすか？

主な発見

• 関数 $F_y(x) = \frac{1}{2}\|f(x) - y\|^2$ がすべての $y \in Y$ に対してチャング・パライス・スメール条件を満たすならば、$f$ はノルム強制的で全空間 $C^1$-微分同相写像である。
• 重み付きチャング・パライス・スメール条件は、標準的な条件を一般化し、バナッハ空間における局所リプシッツ的関数に適用可能である。
• ハダマール＝レヴィ＝プラストック条件 $\int_0^\infty \inf_{|x|\leq \rho} \|df(x)^{-1}\|^{-1} d\rho = \infty$ は、ある重み付きバージョンのチャング・パライス・スメール条件を含む。
• カトリエル条件 — すべての $\varrho > 0$ に対して $\inf_{|f(x)-y|<\varrho} \text{Sur}(f,x) > 0$ — は、関数 $F_y$ に対してチャング・パライス・スメール条件を含む。
• 有限次元では、条件 $\star\star)$、$4)$、$5)$、$\star)$、および $6)$ はすべて同値であり、すべて全空間微分同相写像を意味する。
• 関数 $F_y$ がチャング・パライス・スメール条件を満たすならば、$f(x_n) \to y$ を満たす列 $\{x_n\}$ に対して $\text{Sur}(f,x_n) \to 0$ となることは排除され、全空間逆写像性が保証される。