[論文レビュー] Change-Of-Bases Abstractions for Non-Linear Systems

Sriram Sankaranarayanan|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2012

Formal Methods in Verification参考文献 35被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、非線形連続的・離散的・ハイブリッド系を、線形または有界次数の多項式系に変換するための変換（変数変換、CoB）を導入し、既存の解析手法を用いて不変式を同定可能にする。主な貢献は、このような変換を体系的に探索・検証する手法であり、ODEおよび離散プログラムにおける実験的検証により、抽象化と不変式生成の両方が成功した。

ABSTRACT

We present abstraction techniques that transform a given non-linear dynamical system into a linear system or an algebraic system described by polynomials of bounded degree, such that, invariant properties of the resulting abstraction can be used to infer invariants for the original system. The abstraction techniques rely on a change-of-basis transformation that associates each state variable of the abstract system with a function involving the state variables of the original system. We present conditions under which a given change of basis transformation for a non-linear system can define an abstraction. Furthermore, the techniques developed here apply to continuous systems defined by Ordinary Differential Equations (ODEs), discrete systems defined by transition systems and hybrid systems that combine continuous as well as discrete subsystems. The techniques presented here allow us to discover, given a non-linear system, if a change of bases transformation involving degree-bounded polynomials yielding an algebraic abstraction exists. If so, our technique yields the resulting abstract system, as well. This approach is further extended to search for a change of bases transformation that abstracts a given non-linear system into a system of linear differential inclusions. Our techniques enable the use of analysis techniques for linear systems to infer invariants for non-linear systems. We present preliminary evidence of the practical feasibility of our ideas using a prototype implementation.

研究の動機と目的

• 非線形連続的・離散的・ハイブリッド系を、変数変換（CoB）を用いてより単純で解析可能な形に抽象化する一般枠組みを構築すること。
• 元の系の不変式を保持する有効な抽象化を定義するためのCoB変換が満たすべき条件を同定すること。
• 右辺が有界次数（特に線形、すなわち1次）である多項式系を生成するCoB変換を自動的に探索可能にする。
• 有効な抽象化を通じて、線形系に適用可能な不変式解析手法を非線形系へと拡張すること。
• ODEおよび離散プログラムにおけるプロトタイプ実装を通じた実用的妥当性の提示。

提案手法

• 元の系の状態変数を、各新しい変数が元の変数の関数（例：単項式）である変数変換（CoB）により新たな変数に変換する。
• 変換後の系が自己同型的であり、かつ元の系を適切に抽象化する条件を導出する。これにより、抽象化系における不変式が元の系の不変式を保証する。
• 記号計算を用いて、右辺の次数が最大d（d ≥ 1）であるCoB変換を探索する。
• 抽象化系に対して多面体抽象解釈および時間抽象化解析（例：TimePass）を適用し、不変式を同定する。
• 連続的ODEダイナミクスと離散的遷移系を統合するハイブリッド系に対しても、同じCoB枠組みを適用する。
• リー対称性およびテンプレートベース手法を用いて、有効なCoB変換および保存量の探索空間を縮小する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形系が変数変換（CoB）により、安全不変式を保持する線形または低次多項式系に変換可能か？
• RQ2 CoB変換が元の系の有効な抽象化を定義するための数学的条件は何か？
• RQ3 有界次数（例：次数 ≤ d）のダイナミクスを有する系を生成するCoB変換を自動的に探索する方法は何か？
• RQ4 連続的および離散的ダイナミクスを統合するハイブリッド系に対しても、この抽象化手法はどの程度適用可能か？
• RQ5 この手法により、非線形ODEおよび離散プログラムに対して非自明な不変式（例：多項式不等式や保存量）を生成可能か？

主な発見

• 非線形ODE系が変数(w₁, w₂, w₃)における線形系に変換され、多面体不変式解析が可能となり、元の変数における多項式不変式が回復された。
• 離散プログラム `computeP` において、保存量不変式 4r + v² - 2v - u² + 2u + 4N = 0 が同定され、部分的正しさの根拠となった。
• `productBR` アルゴリズムでは、2次単項式では不変式 q - abp = 0 を捉えられなかったが、3次単項式では成功した。ただし、60個の抽象変数を必要とし、完全な解析は不可能であった。
• 幾何級数和プログラムは5変数線形系に抽象化され、不変式 (1 - r)s = a - p が得られた。これに加え p = arᵏ を組み合わせることで、プログラムの正しさが証明された。
• ほとんどのベンチマークにおいて、抽象化および解析の処理時間は2秒未満であったが、Euclidex1のケースでは2時間以上またはメモリ制限によりクラッシュした。
• プロトタイプ実装により、ODE、離散ループ、ハイブリッド系を含む多様なベンチマークにおいて実用的妥当性が示され、複数分野で不変式の同定に成功した。