[論文レビュー] Change of numeraire in the two-marginals martingale transport problem

Luciano Campi, Ismail Laachir+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、正のマルティンゲールに対する2マージンのマルティンゲール最適輸送問題に為替レート変更技術を導入し、タイプIおよびタイプIIのフォワードスタートストラドルを入れ替えることを示した。これにより、両者に対して同一の最適輸送計画が得られる。さらに、為替レート変更の下で右単調な輸送計画が左単調計画のミラー結合であることを示し、モデル不確実性下でのロバストヘッジにおける構成を統一した。

ABSTRACT

In this paper we apply change of numeraire techniques to the optimal transport approach for computing model-free prices of derivatives in a two periods model. In particular, we consider the optimal transport plan constructed in \cite{HobsonKlimmek2013} as well as the one introduced in \cite{BeiglJuil} and further studied in \cite{BrenierMartingale}. We show that, in the case of positive martingales, a suitable change of numeraire applied to \cite{HobsonKlimmek2013} exchanges forward start straddles of type I and type II, so that the optimal transport plan in the subhedging problems is the same for both types of options. Moreover, for \cite{BrenierMartingale}'s construction, the right monotone transference plan can be viewed as a mirror coupling of its left counterpart under the change of numeraire. An application to stochastic volatility models is also provided.

研究の動機と目的

• モデル不確実性下でのモデルフリー価格設定における最適輸送への為替レート変更の応用を拡張すること。
• 為替レート変換の下で、フォワードスタートストラドルのタイプIとタイプIIの間の対称性を分析すること。
• ホブソンとクレムケク（2015）の最適輸送計画が、為替レート変更により両ストラドルタイプに一様に適用可能であることを示すこと。
• 正のマルティンゲールに対して、為替レートシフトの下で右単調な輸送計画が左単調計画のミラー像として得られることを示すこと。
• 対称的確率的ボラティリティモデルにおける最適輸送計画の構築を統一するフレームワークを提供すること。

提案手法

• 正のマージンを持つ2マージンのマルティンゲール輸送問題に為替レート変更変換を適用する。
• 為替レート変更を用いて、タイプI（|Y/X - 1|）およびタイプII（|X - Y|）のフォワードスタートストラドルのペイオフ構造を関連付ける。
• ホブソン＝クレムケクの最適カップリングが、タイプIとタイプIIのストラドル間で為替レート変更に対して不変であることを確立する。
• 右単調な輸送計画が、為替レート変換を介して左単調計画のミラー結合として得られることを導出する。
• 変換を対称的対数正規マージンに適用し、ブラック＝ショールズおよび非相関確率的ボラティリティモデルにおける不変性を検証する。
• 双対理論および一般化されたスペンス＝ミラーズ条件を用いて、為替レートシフト下での最適性の不変性を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 為替レート変更は、2マージンのマルティンゲール輸送問題におけるフォワードスタートストラドルのタイプIおよびタイプIIの最適輸送計画にどのように影響するか？
• RQ2 正のマルティンゲールに対して、為替レート変更を介して右単調な輸送計画が左単調計画のミラー像として得られるか？
• RQ3 ホブソンとクレムケク（2015）の最適カップリングは、ストラドルタイプ間の為替レート変更においても最適のままであるか？
• RQ4 為替レート変更は、モデルフリー価格設定における最適輸送の一般化されたスペンス＝ミラーズ条件にどのような影響を与えるか？
• RQ5 対称的モデル（例：ブラック＝ショールズ、非相関確率的ボラティリティ）では、為替レート変換が不変となるのはどの場合か？

主な発見

• 為替レート変更により、フォワードスタートストラドルのタイプIとタイプIIが交換され、ホブソン＝クレムケクの構成下で両者に対して同一の最適輸送計画が得られる。
• 為替レート不変性のおかげで、両ストラドルタイプの最適部分レプリケーション価格は同一の輸送計画によって達成される。
• 正のマルティンゲールに対して、為替レート変更の下で右単調な輸送計画は左単調計画のミラー結合である。
• 一般化されたスペンス＝ミラーズ条件は為替レート変更の下でも保存され、最適性の一貫性が保証される。
• ブラック＝ショールズおよび非相関確率的ボラティリティなどの対称的モデルでは、マージンおよび最適輸送計画が為替レート変更に対して不変である。
• 数値的実証により、対数正規マージンの場合の対称性と不変性が確認され、理論的枠組みの妥当性が検証された。