[論文レビュー] Change point analysis of second order characteristics in non-stationary time series

Holger Dette, Weichi Wu+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2015

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 32被引用数 21

ひとこと要約

本稿では、帰無仮説下での完全定常性という制限的な仮定を緩和することで、非定常時系列における2次的特性（分散やラグ-k自己相関など）のCUSUMベースの変動点検定を提案する。検定統計量の漸近的分布を導出し、臨界値を求めるためのブートストラップ法を開発した。これにより、平均や高次モーメントが定数でない場合でも構造的変化を検出可能となり、イギリス中部の気温データへの応用では19世紀末ごろに冬季気温分散および自己相関に顕著な変動点が検出された。

ABSTRACT

A restrictive assumption in the work on testing for structural breaks in time series consists in the fact that the model is formulated such that the stochastic process under the null hypothesis of "no change-point" is stationary. This assumption is crucial to derive (asymptotic) critical values for the corresponding testing procedures using an elegant and powerful mathematical theory, but it might be not very realistic from a practical point of view. For example, if change point analysis for a particular parameter of the process (such as the variance) is performed, it is not necessary clear why other parameters (such as the mean or higher order moments) have to stay constant under the hypothesis that there is no change point in the parameter of interest. This paper develops change point analysis under less restrictive assumptions and deals with the problem of detecting change points in the marginal variance and correlation structures of a non-stationary time series. A CUSUM approach is proposed, which is used to test the "classical" hypothesis of the form H₀ : θ₁ = θ₂ vs. H₁ : θ₀ ≠ θ₂, where θ₁ and θ₂ denote second order parameters (such as the variance or the lag k-correlation) of the process before and after a change point. The asymptotic distribution of the CUSUM test statistic is derived under the null hypothesis. This distribution depends in a complicated way on the dependency structure of the nonlinear non-stationary time series and a bootstrap approach is developed to generate critical values. The results are then extended to test the hypothesis of a non relevant change point, i.e. H₀ : | θ₀ - θ₂ | ≤ δ , which reflects the fact that inference should not be changed, if the difference between the parameters before and after the change-point is small. In contrast to previous work, our approach does neither require the mean to be constant nor - in the case of testing for lag k-correlation - that the mean, variance and fourth order joint cumulants are constant under the null hypothesis. In particular, we allow that the variance has a change point at a different location than the auto-covariance. The results are illustrated by means of a simulation study, which shows that the new procedures have nice finite sample properties. The central England monthly temperature series are analyzed and significant change points in the variance and lag 1-correlation are found in the winter monthly temperature at the late 19th century.

研究の動機と目的

• 帰無仮説下での完全定常性を仮定する従来の変動点検定の制限を是正すること。
• 平均や高次モーメントが一定でなくてもよい条件下で、分散やラグ-k自己相関といった2次的構造の変化を検出する手法を開発すること。
• 分散と自己共分散における変動点が異なる位置に存在することを許容し、現実的な非定常性を反映すること。
• 差が小さな閾値δ以内に収まる「非関連変動点」を検出する枠組みを拡張すること。
• 有限標本における性能をシミュレーションおよび実データ解析で検証した、実用的で漸近的に有効な検定手順を提供すること。

提案手法

• 潜在的変動点の前後における2次的パラメータ（例：分散、ラグ-k自己相関）を比較するためのCUSUM検定統計量を構築する。
• 非線形非定常時系列の複雑な自己依存構造を考慮した、帰無仮説（変動なし）下でのCUSUM統計量の漸近的分布を導出する。
• 漸近的分布が未知の自己依存パラメータに依存し、解析的に扱いにくいことから、臨界値を生成するためのブートストラップ手順を開発する。
• 仮説 H₀: |θ₀ − θ₂| ≤ δ を用いて、パラメータ差が小さな閾値δ以内に収まる「非関連変動点」の検出に拡張する。
• 特にラグ-k自己相関を検定する際には、帰無仮説下で平均が一定でなくてもよく、分散や4次積率が一定でなくてもよい。
• シミュレーションスタディおよび中央イングランド月次気温系列への応用を通じて、本手法の妥当性を検証した。冬季気温分散およびラグ1自己相関における変動点を検出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 帰無仮説下で平均が一定でなくても、2次的特性の変動点検出が可能か？
• RQ2 自己依存構造が複雑な非線形非定常時系列に対して、CUSUM検定統計量の漸近的分布をどのように導出できるか？
• RQ3 漸近的分布が解析的に扱いにくい場合に、正確な臨界値を生成するためのブートストラップ法は何か？
• RQ4 分散と自己共分散における変動点が異なる場所に存在する場合でも、その検出が可能か？
• RQ5 本手法は有限標本においても頑健で有効であるか、特に非関連変動点の検出において有効か？

主な発見

• CUSUM検定統計量の漸近的分布は、時系列の自己依存構造に依存し、簡単な閉形式では表現できない。
• ブートストラップ法により、非定常状態下でも有効な推論が可能な臨界値が適切に生成された。
• シミュレーションスタディにより、提案手法が良好な有限標本特性を示し、正しいサイズと妥当な検出力を持つことが確認された。
• 中央イングランド月次気温系列の分析から、19世紀末ごろに冬季気温分散およびラグ1自己相関に顕著な変動点が検出された。
• 平均が一定でない場合でも、2次的構造における構造的変化を適切に検出できることから、現実的な非定常性に対して頑健であることが示された。
• 非関連変動点への拡張により、パラメータ差が無視できる閾値δ以内に収まるかどうかを検定することで、実用的な推論が可能となった。