[論文レビュー] Chaos and integrability in SL(2,R)-geometry

Alexey V. Bolsinov, А. П. Веселов+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 19, 2019

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 42被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$SL(2,\mathbb{R})$-幾何をもつ3次元多様体上の測地線流を調査し、特にFuchs群$\Gamma$による商$\mathcal{M}^3_\Gamma = \Gamma \backslash PSL(2,\mathbb{R})$を対象とする。位相空間$T^*\mathcal{M}^3_\Gamma$には、可積分的でゼロのトポロジカルエントロピーを示す領域と、カオス的で正のトポロジカルエントロピーを示す領域が明確に分離されて存在することが示された。主な結果は、モジュラー3次元多様体（$\Gamma = PSL(2,\mathbb{Z})$）上の周期的測地線が、可積分限界ではtrefoilケーブル紐結びに対応し、カオス的領域ではLorenz型の紐結びに対応することである。

ABSTRACT

The integrability of the geodesic flow on the three-folds $\mathcal M^3$ admitting $SL(2,\mathbb R)$-geometry in Thurston's sense is investigated. The main examples are the quotients $\mathcal M^3_Γ=Γ\backslash PSL(2,\mathbb R)$, where $Γ\subset PSL(2,\mathbb R)$ is a cofinite Fuchsian group. We show that the corresponding phase space $T^*M_Γ^3$ contains two open regions with integrable and chaotic behaviour with zero and positive topological entropy respectively. As a concrete example we consider the case of modular 3-fold with the modular group $Γ=PSL({2,\mathbb Z})$, when $\mathcal M^3_Γ$ is known to be homeomorphic to the complement of a trefoil knot $\mathcal K$ in 3-sphere. Ghys proved a remarkable fact that the lifts of the periodic geodesics to the modular surface to $\mathcal M^3_Γ$ produce the same isotopy class of knots, which appeared in the chaotic version of the celebrated Lorenz system and were extensively studied by Birman and Williams. We show that in the integrable limit of the geodesic system on $\mathcal M^3_Γ$ they are replaced by the simple class of cable knots of trefoil.

研究の動機と目的

• SL(2,\mathbb{R})-幾何をもつ3次元多様体上の測地線流の可積分性とカオス的挙動を、ターフォンの幾何化プログラムの文脈で調査すること。
• 共通のFuchs群$\Gamma$に対して、商$\mathcal{M}^3_\Gamma = \Gamma \backslash PSL(2,\mathbb{R})$上の測地線流の位相空間構造を分析すること。
• 特に紐不変量との関係において、位相空間内での可積分的領域とカオス的領域のトポロジカルかつ力学的差異を明確にすること。
• 特にモジュラー3次元多様体（$\Gamma = PSL(2,\mathbb{Z})$）の場合に、周期的測地線と紐の型との対応関係を調査すること。
• 基本群に関するタイマノフおよびディナブルグの定理を踏まえ、可積分性に対するトポロジカル障害の意味を検討すること。

提案手法

• PSL(2,\mathbb{R})に左不変かつ自然に再帰的な計量を用い、$\alpha > 0 > \beta$でパラメータ化する。Sasaki計量は特別な場合（$\alpha = -\beta = 2$）に相当する。
• Lie代数$\mathfrak{sl}(2,\mathbb{R})$のCartan分解を用いて、対称部分と反対称部分に分解し、計量構造を定義する。
• 測地線流を、$\Omega = g^{-1}\dot{g} \in \mathfrak{g}$という角速度を用いて解析し、力学系を余接 bundle $T^*\mathcal{M}^3_\Gamma$ 上の系に還元する。
• 基底多様体$\mathcal{M}^2_\Gamma = \Gamma \backslash \mathbb{H}^2$の幾何と測地線力学を関連付けるために、単位接束$\mathcal{M}^3 = S\mathcal{M}^2_\Gamma$の構造を利用する。
• 基本群や1次ホモロジーといったトポロジカル不変量を用いて可積分性の障害を評価し、タイマノフおよびバトラーの結果を応用する。
• 周期的測地線を普遍被覆に引き上げ、特にモジュラーの場合にその同相型を特定することで、紐理論と結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 共通のFuchs群$\Gamma$に対して、位相空間$T^*\mathcal{M}^3_\Gamma$の構造は何か。可積分的領域とカオス的領域はどのように共存するか。
• RQ2 モジュラー3次元多様体$\mathcal{M}^3_\Gamma$（$\Gamma = PSL(2,\mathbb{Z})$）上の周期的測地線は、3次元空間におけるどの紐の型に対応するか。
• RQ3 SL(2,\mathbb{R})-多様体上での解析的可積分測地線流の存在を妨げるトポロジカル制約は何か。基本群とどのように関係するか。
• RQ4 測地線流の可積分的挙動とカオス的挙動との間の動的遷移は何か。周期的軌道のトポロジーにどのように反映されるか。
• RQ5 周期的測地線の紐の型は、可積分限界におけるtrefoilのケーブル紐結びから、カオス的領域におけるLorenz型の紐結びへどのように変化するか。

主な発見

• 共通のFuchs群$\Gamma$に対して、位相空間$T^*\mathcal{M}^3_\Gamma$には2つの開領域が存在する。1つは可積分的力学とゼロのトポロジカルエントロピーを示し、もう1つはカオス的力学と正のトポロジカルエントロピーを示す。
• モジュラー3次元多様体（$\Gamma = PSL(2,\mathbb{Z})$）において、可積分限界における周期的測地線は、trefoil紐結びのケーブル紐結びに対応する。
• カオス的領域では、同じ周期的測地線が、GhysおよびBirman-Williamsによって確立されたLorenz系から生じる紐結びと同相型に引き上げられる。
• モジュラー3次元多様体の基本群は、タイマノフの解析的可積分性の条件（$\dim H_1 > \dim M^3$）を満たさず、これにより解析的可積分測地線流の不在が確認される。
• カオス的領域における正のトポロジカルエントロピーの存在は、基本群が指数的成長を示すため、ディナブルグの定理と整合的である。
• 本研究の結果は、正のトポロジカルエントロピーを持つ滑らかなLiouville可積分系を示しており、$Sol$-幾何の場合の先行例を拡張するものであり、周期的軌道の分類において紐理論の役割を強調している。