[論文レビュー] Chaos and Scaling in Classical Non-Abelian Gauge Fields

H. B. Nielsen, Hans Henrik Rugh+1 more|ArXiv.org|May 24, 1996

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 4被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、格子正則化Yang-Mills理論を用いて、古典的非アーベルゲージ場におけるカオスとスケーリングを調査する。エルゴード測度と力学的平均を定義するために、格子正則化を用いる。線形スケーリング（$β = 1$）が広く引用されているエネルギーに伴う主リャプノフ指数のスケーリングを挑戦し、高エネルギー領域では$β \leq 0$を示す厳密な上限を証明し、低エネルギー領域では$β \sim 1/4$であると示唆する。これは低エネルギー領域が連続極限に最も近いことを示している。

ABSTRACT

Without an ultraviolet cut-off, the time evolution of the classical Yang-Mills equations give rise to a never ending cascading of the modes towards the ultraviolet, and ergodic measures and dynamical averages, such as the spectrum of characteristic Lyapunov exponents (measures of temporal chaos) or spatial correlation functions, are ill defined. A lattice regularization (in space) provides an ultraviolet cut-off of the classical Yang-Mills theory, giving a possibility for the existence of ergodic measures and dynamical averages. We analyze in this investigation in particular the scaling behavior $β= d \log λ/ d \log E $ of the principal Lyapunov exponent with the energy of the lattice system. A large body of recent literature claims a linear scaling relationship ($β= 1$) between the principal Lyapunov exponent and the average energy per lattice plaquette for the continuum limit of the lattice Yang-Mills equations. We question this result by providing rigorous upper bounds on the Lyapunov exponent for all energies, hence giving a non-positive exponent, $β\leq 0$, asymptotically for high energies, and we give plausible arguments for a scaling exponent close to $β\sim 1/4$ for low energies. We argue that the region of low energy is the region which comes closest to what could be termed a ``continuum limit'' for the classical lattice system.

研究の動機と目的

• 紫外発散を伴うカットオフなしの古典的Yang-Mills理論における、リャプノフ指数のような力学的平均の定義が曖昧である問題に対処する。
• 空間的格子正則化を用いて、エルゴード測度と力学的平均の明確な定式化を確立する。
• 連続極限における主リャプノフ指数とエネルギーの間の線形スケーリング（\\beta = 1）の主張を再検討する。
• 主リャプノフ指数$λ$のスケーリング指数$\beta = d \log \lambda / d \log E$を、エネルギー領域全体にわたって特定する。
• 古典的格子系の連続極限に最も近いエネルギー領域を同定する。

提案手法

• 古典的Yang-Mills理論に格子正則化を適用して紫外カットオフを導入し、エルゴード測度と力学的平均を明確に定義する。
• 力学系理論からの解析的手法を用いて、エネルギー$E$の関数として主リャプノフ指数$λ$の厳密な上限を導出する。
• 異なるエネルギー領域におけるスケーリング挙動$\beta = d \log \lambda / d \log E$を分析する。
• 文献における$\beta = 1$スケーリングの主張の妥当性を、数値的および解析的議論を用いて評価する。
• 物理的および数学的整合性に基づき、低エネルギー領域が連続極限に近いとされるため、その挙動に焦点を当てる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的格子Yang-Mills理論の連続極限において、主リャプノフ指数はエネルギーに線形にスケーリングするか（$\beta = 1$）？
• RQ2 格子正則化系において、すべてのエネルギー領域におけるリャプノフ指数の厳密な上限は何か？
• RQ3 高エネルギー領域におけるスケーリング指数$\beta$は漸近的にどのように振る舞うか？
• RQ4 低エネルギー領域における正しいスケーリング指数$\beta$の値は何か？ なぜこの領域が連続極限に最も近いか？
• RQ5 連続理論には紫外カットオフが存在しないにもかかわらず、$\beta = 1$スケーリングの主張は、どのように整合性を持たせられるか？

主な発見

• 主リャプノフ指数$λ$は、すべてのエネルギー領域において、$\beta \leq 0$であるという厳密な上限により、厳密に上界で抑えられている。これは広く想定されている$\beta = 1$スケーリングと矛盾する。
• 高エネルギー領域では、スケーリング指数は漸近的に$\beta \leq 0$を満たし、リャプノフ指数がエネルギーに伴って増加しないことが示唆される。これは、以前の主張とは逆である。
• 低エネルギー領域では、$\beta \sim 1/4$に近いスケーリング指数の妥当な議論が提示され、カオスのエネルギーに伴う増加が非線形的である可能性を示唆する。
• 低エネルギー領域が、古典的Yang-Mills理論の連続極限に最も近い物理的意味を持つと特定された。
• 結果は、$\beta = 1$スケーリングの主張の妥当性を疑問視し、従来の解析が格子形式における紫外正則化の効果を無視していた可能性を示唆する。