[論文レビュー] Chaos and Scrambling in Quantum Small Worlds

Jean-Gabriel Keiser Hartmann, Murugan, Jeff+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2019

Neural Networks and Reservoir Computing被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、スピン1/2ヘイゼンベルク鎖に確率的再接続を用いて長距離相互作用を段階的に導入することで、量子スモールワールドモデルを提案する。量子情報スクラッチのプローブとして、out-of-time-order correlator (OTOC) とスペクトル形式因子 (SFF) を用いる。急速な局在化と量子カオスに類似したSFFの振るまいを示すが、系には量子カオスの兆候が一切認められない。これは、スモールワールド位相のみでは、小さなスパarsely接続された量子系ではカオス的ダイナミクスを誘発しないことを示している。

ABSTRACT

Quantum small-worlds are quantum many-body systems that interpolate between completely ordered (nearest-neighbour, next-to-nearest-neighbour etc.) and completely random interactions. As such, they furnish a novel new laboratory to study quantum systems transitioning between regular and chaotic behaviour. In this article, we introduce the idea of a quantum small-world network by starting from a well understood integrable system, a spin-1 Heisenberg chain. We then inject a small number of long-range interactions into the spin chain and study its ability to scramble quantum information using two primary devices: the out-of-time-order correlator (OTOC) and the spectral form factor (SFF). We find that the system shows increasingly rapid scrambling as its interactions become progressively more random, with no evidence of quantum chaos.

研究の動機と目的

• 秩序的でランダムな相互作用の間を滑らかに接続する系における量子カオスの発現を調査すること。
• チューナブルなランダム性とスモールワールド位相を有する量子ネットワークにおける、量子情報スクラッチの進化を理解すること。
• スモールワールド接続性が、OTOCとSFFを用いた診断法によって、量子カオスを誘発するかどうかを検証すること。
• スパarsely接続された有限サイズの量子系において、標準的なカオス診断法の限界を明らかにすること。
• 多体系における可積分性からカオスへの遷移を研究するための制御可能な量子モデルを確立すること。

提案手法

• 1次元スピン1/2ヘイゼンベルク鎖（近接スピン間相互作用）を出発点として、量子スモールワールドネットワークを構築する。
• 確率的再接続により、エッジを長距離結合に置き換え、エッジ総数を維持する。再接続確率を $ p $ とする。
• 正確な対角化を用いて、out-of-time-order correlator (OTOC) $ F(t) $ とその交換子 $ C(t) $ との関係を計算する。
• スペクトル形式因子 (SFF) $ g(t,\beta) $ を計算し、準位統計をプローブし、可積分性とカオス的挙動を区別する。
• 小規模なスモールワールド性を $ p $ 以外の指標として、$ \sigma = \gamma / \lambda $ と $ \omega = L_{\text{rand}}/L - C/C_{\text{latt}} $ といった代替ネットワーク指標を用いる。
• 無限温度極限で熱平均を簡略化し、有限温度への拡張は今後の課題とする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 規則的なスピン鎖に長距離でランダムな相互作用を導入した場合、OTOCの成長によって測定された量子カオスが生じるか？
• RQ2 ネットワークのランダム性が増加するに従い、OTOCの挙動はどのように変化するか？ また、カオス的挙動を示す指数的成長を示すか？
• RQ3 スペクトル形式因子 (SFF) は、量子カオス系に特徴的な「谷-線形-上昇-プラトー」構造を示すか？
• RQ4 有限 $ N $ で長距離結合が限られている小さなスパarsely接続された量子系において、標準的なカオス診断法がどの程度失敗するか？
• RQ5 再接続確率 $ p $ よりも、$ \sigma $ や $ \omega $ といった代替ネットワークパラメータの方が、規則的からカオス的挙動への遷移をよりよく特徴づけられるか？

主な発見

• OTOCは初期には多項式的成長を示し、時間とともに急速に $ C_{ij}(t) = 2 $ に近づき、指数的成長を示さないが、情報の迅速な非局在化を示している。
• 急速な非局在化にもかかわらず、OTOCは指数的成長の兆候がなく、量子リャプノフ指数も観測されないため、量子カオスの存在が否定される。
• SFFは量子カオスに類似した「谷-線形-上昇-プラトー」構造を示すが、プラトーの開始が系サイズ $ N $ にスケーリングしないため、非カオス的挙動であると示唆される。
• SFFの挙動は、真の量子カオス系よりも、ランダムだが可積分なSYKモデルにより一致しており、特に有限 $ N $ の領域で顕著である。
• 再接続確率 $ p $ は、小さな系におけるスモールワールド性の特徴づけに不適切であり、$ \sigma $ や $ \omega $ といった代替指標の方が効果的である。
• 大きな長距離結合でさえも、系は非カオス的であることが示され、これは、小さなスパarsely接続された量子系において、スモールワールド位相のみでは量子カオスを誘発しないことを示している。