[論文レビュー] Chaos : Butterflies also generate phase transitions and parallel universes

Renaud Leplaideur|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2013

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、特定のポテンシャルを有する有限型の混合符号化系において、圧力関数が厳密に凸かつ解析的であるにもかかわらず、相転移が発生しうることを示している。これは、非解析的性と相転移の間の従来の関連性に挑戦するものである。驚くべきことに、解析的圧力のもとでも複数の平衡状態が共存しており、統計力学における並行宇宙に類似した複雑な力学的挙動が生じている。

ABSTRACT

We exhibit examples of mixing subshifts of finite type and potentials such that there are phase transitions but the pressure is always strictly convex. More surprisingly, we show that the pressure can be analytic on some interval although there exist several equilibrium states.

研究の動機と目的

• 力学系における相転移が非解析的圧力関数を要するという一般的な信念に挑戦すること。
• 圧力関数が解析的のままである場合に、複数の平衡状態が共存しうるかどうかを調査すること。
• 有限型符号化系における局所的平衡状態の役割と、それらのグローバル実現可能性を明らかにすること。
• 圧力の正則性と、力学系における複数の平衡状態の存在との関係を明確にすること。
• 相転移後も圧力が非アフィンのままとなる「凍結型でない」相転移を、力学系で構成できるかを検討すること。

提案手法

• 有限なアルファベット {1,2,3,4,1₁,…,1ₗ} または 3′,4′ を含む拡張版を用いた、バタフライ型の遷移グラフを持つ混合符号化系の構築。
• シーケンスにおける最初の非2記号に依存するポテンシャル φ(x) を定義し、対数的項とパラメータ α, γ, δ, ε を用いて値を設定。
• 熱力学的形式主義を用いて、圧力関数 P(β) = max_μ {h_μ + β∫φ dμ} を定義。ここで μ は σ-不変測度を走査。
• スペクトル理論を用いて、転送作用素 L_Z を分析し、シリンダ [i] 上での局所的平衡状態 μ_{Z,[i]} を、固有関数と固有測度を用いて解析。
• 局所的平衡状態がグローバルな平衡状態に拡張可能となる条件を、帰還時間の期待値の有限性に基づいて確立。
• 制限された転送作用素のスペクトル半径 λ_{Z,[i]} を分析し、特に臨界値 Z_c における依存性を検討。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 圧力関数が解析的のままである場合に、混合符号化系の有限型において相転移が発生しうるか？
• RQ2 圧力が区間上で厳密に凸かつ解析的であるにもかかわらず、複数の平衡状態が共存しうるか？
• RQ3 シリンダ [i] 上の局所的平衡状態がグローバルな平衡状態に拡張可能となる条件は何か？
• RQ4 圧力関数の正則性と、力学系における平衡状態の多重性との関係は何か？
• RQ5 相転移後も圧力が非アフィンのままとなる「凍結型でない」相転移を、力学系で構成できるか？

主な発見

• 本稿は、複数の平衡状態が存在するにもかかわらず、圧力関数が区間上で解析的である混合符号化系の有限型とポテンシャルの構成を提示した。
• 非解析的性が失われても相転移が発生しうることを示し、圧力の非解析的性が相転移を示すという一般的な仮定に反する。
• 圧力が厳密に凸であるにもかかわらず、複数の平衡状態が共存しており、平衡状態の共存が非解析的性を示唆するものではないことが明らかになった。
• シリンダ [i] 上の局所的平衡状態がグローバルなものに拡張可能となる臨界条件は、[i] への帰還時間の期待値の有限性であり、これは転送作用素の微分に依存する。
• λ_{Z_c,[i]} = 1 であり、帰還時間の期待値が有限である場合、局所的平衡状態はグローバルなものに拡張され、グローバル圧力 P(φ) は Z_c に等しくなる。
• 構成手法により、遷移グラフにおける「バタフライ」構造が複数の安定状態を生成する力学的メカニズムが明らかになり、統計力学における並行宇宙に類似した挙動が観察された。