[論文レビュー] Chaos in a quantum rotor model

Gong Cheng, Brian Swingle|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2019

Quantum many-body systems参考文献 46被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、無限範囲のランダム相互作用を有する大N・大MのM成分量子ローター系における量子カオスを研究する。パラ磁性相において摂動論を用い、ローター演算子の二乗交換子が時間とともに指数関数的に増大することを導出し、量子リャプノフ指数が1/Mに比例し、低温ではT⁴依存性を示し、高温では有限の極限に近づくことを明らかにする。

ABSTRACT

We study scrambling in a model consisting of a number $N$ of $M$-component quantum rotors coupled by random infinite-range interactions. This model is known to have both a paramagnetic phase and a spin glass phase separated by second order phase transition. We calculate in perturbation theory the squared commutator of rotor fields at different sites in the paramagnetic phase, to leading non-trivial order at large $N$ and large $M$. This quantity diagnoses the onset of quantum chaos in this system, and we show that the squared commutator grows exponentially with time, with a Lyapunov exponent proportional to $\frac{1}{M}$. At high temperature, the Lyapunov exponent limits to a value set by the microscopic couplings, while at low temperature, the exponent exhibits a $T^4$ dependence on temperature $T$.

研究の動機と目的

• 無限範囲のランダム結合を有する相互作用する量子ローターの解析的モデルにおける量子カオスを調査すること。
• Sachdev-Ye-Kitaev（SYK）モデルで観察される最大カオスが、実験的に実現可能なスピン様系で再現可能かどうかを特定すること。
• 量子臨界点に近いパラ磁性相における、時計順序外相関関数（OTOC）およびその関連するリャプノフ指数の振る舞いを分析すること。
• パラ磁性相を基礎として、カオスとガラス性の相乗作用を検討すること。

提案手法

• モデルは、N体のM成分量子ローターから構成され、運動エネルギー項と相互作用項を含むハミルトニアンに従う。相互作用結合定数J_ijは、分散J²/Nのガウス分布に従う。
• 大Nおよび大Mの極限において摂動論を適用し、ローター演算子の二乗交換子を計算することで、量子カオスの診断指標を得る。
• ローター場の四点関数をシュヴィンガー＝ダイソンのアプローチを用いて計算し、自己エネルギー補正とラダーダイアグラムの再結合により、主要な量子補正を捉える。
• レチロード二点関数およびスペクトル関数を導出し、OTOCの時間発展演算子のカーネルを運動量空間で構築し、リャプノフ指数の固有値問題に帰着する。
• 離散化された周波数グリッド上でカーネル行列を数値的に対角化し、最大固有値を抽出する。この最大固有値が量子カオス指数λ_cとして特定される。
• 次元なし周波数へのスケーリングと、ボーズ＝アインシュタイン分布の急変領域付近での適応的グリッド分割を用いることで、低温における数値的精度を向上させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限範囲のランダム相互作用を有する量子ローター系は、二乗交換子の指数的増大を示し、量子カオスを示すか？
• RQ2 このローター系において、量子リャプノフ指数λは、成分数Mおよび温度Tにどのように依存するか？
• RQ3 パラ磁性相とスピンガラス相を分かつ量子臨界点付近でのリャプノフ指数の振る舞いはいかなるものか？
• RQ4 他のカオス的系と同様に、低温におけるリャプノフ指数にT⁴依存性が現れるか？
• RQ5 カオス指数は普遍的限界2πT/ħに近づくか？その近づき方はいかなるものか？

主な発見

• ローター演算子の二乗交換子は時間とともに指数関数的に増大し、パラ磁性相における量子カオスの存在を確認する。
• 量子リャプノフ指数λは1/Mに比例しており、成分数Mの増加によりカオスが抑制されることを示す。
• 高温領域では、リャプノフ指数は微視的結合定数Jによって決定される有限値に近づく。
• 低温領域では、リャプノフ指数はT⁴依存性を示し、特定の conformal field theory の振る舞いと整合する。
• OTOC時間発展演算子のカーネル行列の最大固有値を数値的に計算し、離散化周波数グリッド上で行列対角化によりカオス指数λ_cを抽出する。
• 発散する自己エネルギー寄与は、図式的補正によって相殺され、リャプノフ指数に対して有限な物理的結果が得られる。