[論文レビュー] Chaos in de Broglie - Bohm quantum mechanics and the dynamics of quantum relaxation

Christos Efthymiopoulos, G. Contopoulos+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2017

Quantum Mechanics and Applications被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、2次元および3次元系におけるド・ブロイ＝ボーム量子軌道におけるカオスを生成する普遍的なメカニズムとして、節点–X点複合体を同定し、量子緩和（ボーンの法則への動的到達）がカオスに依存することを示している。カオス的軌道は効率的な量子緩和を駆動するが、非透過性効果のため、正則な軌道は完全な緩和に到達できない。Lyapunovスケーリング則とエントロピー力学を用いてその緩和速度を定量化している。

ABSTRACT

We discuss the main mechanisms generating chaotic behavior of the quantum trajectories in the de Broglie - Bohm picture of quantum mechanics, in systems of two and three degrees of freedom. In the 2D case, chaos is generated via multiple scatterings of the trajectories with one or more `nodal point - X-point complexes'. In the 3D case, these complexes form foliations along `nodal lines' accompanied by `X-lines'. We also identify cases of integrable or partially integrable quantum trajectories. The role of chaos is important in interpreting the dynamical origin of the `quantum relaxation' effect, i.e. the dynamical emergence of Born's rule for the quantum probabilities, which has been proposed as an extension of the Bohmian picture of quantum mechanics. In particular, the local scaling laws characterizing the chaotic scattering phenomena near X-points, or X-lines, are related to the global rate at which the quantum relaxation is observed to proceed. Also, the degree of chaos determines the rate at which nearly-coherent initial wavepacket states lose their spatial coherence in the course of time.

研究の動機と目的

• 2次元および3次元自由度2つおよび3つの量子系におけるド・ブロイ＝ボーム軌道におけるカオスの原因となる動的メカニズムを特定すること。
• 量子平衡（すなわちボーンの法則への動的到達）の成立にカオスが不可欠であることを確立すること。
• カオスの度合いと関連して、量子緩和の速度を定量化すること、特にリャプノフスケーリング則とエントロピー力学を用いて。
• 軌道を正則、カオス的、部分的可積分の3つに分類し、それらが緩和過程に与える影響を分析すること。
• 2次元系における節点–X点複合体フレームワークを3次元系へと拡張し、節線およびX線構造が3次元カオスの源となることを同定すること。

提案手法

• 波動関数の展開とそれに付随するド・ブロイ＝ボームの運動方程式を用いて、移動する節点の周囲における量子フローの局所的構造を分析する。
• 軌道の局所的リャプノフ指数と節点–X点複合体のサイズおよび速度の関係を示すスケーリング則を導出する。
• コherent波パッケットから初期化されたド・ブロイ＝ボーム軌道の集合を追跡する数値シミュレーションを用い、正則およびカオス的初期条件を比較する。
• 統計的測度の時間発展を計算する：Kullback–Leiblerの発散 $D(t)$ およびエントロピー $H(t)$ を用いて、量子緩和の速度を定量化する。
• 3次元系における不変な2次元面の概念を用いて、明示的な運動積分を持つ部分的可積分な場合を同定する。
• 準量子H定理フレームワークを用いて、長期間にわたる量子平衡への到達をカオス的混合の結果として解釈する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自由度2つおよび3つの系において、ド・ブロイ＝ボーム軌道にカオスを生じさせる動的メカニズムは何か？
• RQ2 軌道の局所的リャプノフ指数は、節点–X点複合体の運動学的特性にどのように依存するか？
• RQ3 正則（非カオス的）な軌道の存在が、孤立系において完全な量子緩和を妨げる程度はどの程度か？
• RQ4 量子緩和の速度を、系の軌道ダイナミクスにおけるカオスの度合いと定量的に結びつけることができるか？
• RQ5 3次元配置空間における節線およびX線が、ド・ブロイ＝ボーム軌道におけるカオス的散乱およびグローバル混合をどのように生じさせるか？

主な発見

• 節点–X点複合体は、初期条件に敏感で正のリャプノフ指数を示す軌道を伴う2次元量子系におけるカオスを生成する普遍的メカニズムである。
• 節点–X点複合体のサイズおよび速度と局所的リャプノフ指数の関係を示すスケーリング則が導出され、カオス的散乱行動の定量的予測が可能になった。
• 3次元系では、節点が連続する節線を形成し、X点はそれらの周囲に円筒構造を形成する。これにより、X線への接近によるカオス的散乱が可能になる。
• 節点–X点複合体を避ける正則なド・ブロイ＝ボーム軌道は、空間的にコherently保たれ、$D(t)$ および $H(t)$ が0から著しく離れたままに保たれるため、量子緩和を示さない。
• カオス的集合は、より速く完全な量子緩和を示し、$D(t) \simeq 12.3$ および $H_s \simeq 6.4$ が漸近値に近づくが、非透過性領域のためゼロにはならない。
• 部分的可積分な3次元系では、明示的な運動積分によって定義される不変な2次元面が存在し、これによりすべての軌道がこれらの面上に制限され、カオス的混合が制限される。