[論文レビュー] Chaos on the interval - a survey of relationship between the various kinds of chaos for continuous interval maps

Sylvie Ruette|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals被引用数 10

ひとこと要約

本包括的なサーベイは、連続区間写像におけるさまざまなカオスの概念の明確な関係を確立し、Li-Yorkeカオス、Devaneyカオス、正のエントロピー、混合性を統合的に扱う。系統的に証明されたのは、正の位相的エントロピーがLi-Yorkeカオスを含意すること、弱い混合性がLi-Yorkeカオスを含意すること、およびすべての周期の周期点を有する軌道（Sharkovskyの定理による）が豊かなカオス的挙動を示すことである。これにより、1次元力学系におけるカオスの理解のための決定的な枠組みが提供される。

ABSTRACT

Dynamical systems on the interval were widely studied because they are among the simplest systems and nevertheless they turn out to have complex dynamics. Many works on chaos were inspired by the behaviour of interval maps. However these systems have many properties that are not found on other spaces. As a consequence, one-dimensional dynamics is very rich and worth a separate study. The aim of this book is to survey the relations between the various sorts of chaos and related notions for continuous interval maps. The papers on this topic are numerous but very scattered in the literature, sometimes little known or difficult to find; some were originally published only in Russian or without proof.

研究の動機と目的

• 連続区間写像におけるカオスの多様な定義を明確に統合すること。これらはしばしば不一致または重複している。
• 区間設定における主要なカオス概念—Li-Yorkeカオス、Devaneyカオス、正の位相的エントロピー、混合性—の間の厳密な関係を確立すること。
• 数十年にわたる区間力学に関する研究の結果を統合し、研究者向けの包括的リファレンスを提供すること。
• 特にゼロエントロピーおよび正エントロピー領域において、異なるカオスタイプ間の含意関係と非含意関係を証明することで、文献における曖昧さを解消すること。
• 周期点、トランスティビティ、混合性、エントロピーの相互関係が1次元系でどのように作用するかを包括的に提示すること。

提案手法

• 位相的力学の道具を用いた区間写像の体系的分析：ω-極限集合、トランスティビティ、混合性、感度。
• 周期点構造の分類とカオスへの影響を明らかにするためにSharkovskyの定理の応用。
• 位相的エントロピーとカオス的挙動を結びつけるために、ホースシューティーリーと区間チェーンの使用。
• 再帰性と軌道構造を分析するためのグラフ理論的手法（区間上の有向グラフ）の採用。
• コンパクト性、連結性、一様連続性を用いた証明技法により、閉包性および稠密性の性質を確立。
• Zornの補題と位相的完備性の使用により、特定の力学的構造（例：最小集合）の存在を証明。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続区間写像において、どの種類のカオスが他のカオスを含意するか、または含意されるか。
• RQ2 正の位相的エントロピーとLi-Yorkeカオスの正確な関係は何か。
• RQ3 弱い混合性は区間写像においてLi-Yorkeカオスを含意するか。
• RQ4 周期点が存在しないにもかかわらずトランスティビティかつ感度を有する写像は存在するか。このような場合、Devaneyカオスにどのように影響を与えるか。
• RQ5 周期点の構造（Sharkovskyの順序による）は、存在するカオスの種類にどのような役割を果たすか。

主な発見

• 正の位相的エントロピーは、連続区間写像においてLi-Yorkeカオスを含意する。これは長年の予想を確認するものである。
• 弱い混合性を有する区間写像はLi-Yorkeカオス的である。これにより、混合性と初期条件への感度の間の強い関係が確立される。
• すべての周期の周期点を有する写像（Sharkovskyの定理による）はLi-Yorkeカオス的である。これは「周期3がカオスを含意する」という結果を一般化する。
• 正のエントロピーを有するトランスティビティ区間写像は一様にカオス的であり、初期条件への感度と稠密なスクラムブル集合の両方を示す。
• ゼロエントロピー写像ですらLi-Yorkeカオス的である可能性がある。これは、Li-Yorkeカオスの観点では正のエントロピーが必須でないことを示している。
• 1つのLi-Yorkeペアの存在は、非可算なスクラムブル集合の存在を含意する。これにより、Li-Yorkeカオスの強靭性が確認される。