[論文レビュー] Chaotic dynamics in a simple predator-prey model with discrete delay

Guihong Fan, Gail S. K. Wolkowicz|arXiv (Cornell University)|Jul 31, 2020

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 23被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、捕食者が被捕食者バイオマスを変換する際の時間遅れを有する単純な捕食者-被捕食者モデルを調査し、その遅れが複雑なダイナミクスを引き起こす仕組みを検討する。遅れを導入することで、ホップ分岐、周期倍分岐の系列、および周期軌道の鞍節約分岐を通じて、グローバル安定性からカオス的振動へと系が遷移する。これは、遅れそのものが、そうでなければ安定な系においてもカオス的挙動を生じさせ得ることを示している。

ABSTRACT

A discrete delay is included to model the time between the capture of the prey and its conversion to viable biomass in the simplest classical Gause type predator-prey model that has equilibrium dynamics without delay. As the delay increases from zero, the coexistence equilibrium undergoes a supercritical Hopf bifurcation, two saddle-node bifurcations of limit cycles, and a cascade of period doublings, eventu1ally leading to chaos. The resulting periodic orbits and the strange attractor resemble their counterparts for the Mackey-Glass equation. Due to the global stability of the system without delay, these complicated dynamics can be solely attributed to the introduction of the delay. Since many models include predator-prey like interactions as submodels, this study emphasizes the importance of understanding the implications of overlooking delay in such models on the reliability of the model-based predictions, especially since the temperature is known to have an effect on the length of certain delays.

研究の動機と目的

• 遅れが、遅れなしではグローバル安定な系において、非平衡的で複雑なダイナミクスを生じさせる仕組みを調査すること。
• 単純なゴーズ型捕食者-被捕食者系にホーリング型Iの機能反応を適用した系において、遅れの導入のみがカオス的挙動を引き起こすかどうかを特定すること。
• カオスへ至る分岐構造（ホップ分岐、鞍節約分岐、周期倍分岐）を検討し、マッキー・グラス方程式と比較すること。
• 特に気温の変化などの環境変化が処理時間に与える影響を踏まえ、生態モデルで時間遅れを無視するリスクを強調すること。
• 最小限のモデルでも遅れが予測を著しく変化させ、激しい振動や絶滅を引き起こし、モデルの信頼性を損なう可能性があることを示すこと。

提案手法

• 捕食者が獲物を捕食してからバイオマスに変換するまでの遅れを表す離散的時間遅れ τ を含む遅れ微分方程式系を定式化する。
• ホーリング型Iの機能反応 f(x) = mx を用い、遅れなしの系がグローバル漸近安定な平衡点を持つことを保証する。
• 中心多様体理論および正規形理論を用いて、臨界遅れ値におけるホップ分岐を分析し、周期的解の発生を特定する。
• 数値継続法とシミュレーションを用いて分岐分岐を追跡し、周期軌道の鞍節約分岐および周期倍分岐の系列を明らかにする。
• 数値解析を用いてカオス的アトラクターを同定し、マッキー・グラスアトラクターと構造を比較する。
• 一様持続可能性理論を用いて、内部平衡点が不安定である場合、すべての τ > 0 に対して系が一様持続的であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グローバルに安定な捕食者-被捕食者モデルに離散的遅れを導入すると、その長期的ダイナミクスはどのように変化するか？
• RQ2 遅れ付き捕食者-被捕食者系において、カオス的挙動が出現するための分岐系列は何か？
• RQ3 遅れの影響により、同時に2つの安定な周期的軌道と1つの不安定な周期的軌道が共存しうるか？
• RQ4 処理時間に影響を与える環境的摂動（例：温度変化）が遅れを変化させた場合、系の挙動はどのように変化するか？
• RQ5 本モデルにおけるカオス的アトラクターは、マッキー・グラスアトラクターとどの程度類似しているか？また、これにより、遅れに起因するダイナミクスの普遍性について何が示唆されるか？

主な発見

• 離散的遅れの導入により、グローバルに安定な系が、臨界遅れ値における上昇的ホップ分岐を伴い、複雑なダイナミクスを示すようになる。
• 遅れが増加するに従い、周期軌道の2つの鞍節約分岐が発生し、2つの安定な周期的軌道と1つの不安定な周期的軌道の共存が生じる。
• 周期倍分岐の系列が観察され、カオス的ダイナミクスに至る。その後、遅れがさらに増加すると、周期半分の系列を通じて再び安定性へ回復する。
• カオス的アトラクターはマッキー・グラスアトラクターに強く類似しており、遅れに起因するカオスにおいて共通するダイナミクス的メカニズムが存在することを示唆する。
• ホップ分岐点付近、または鞍節約分岐点付近（例：τ ≈ 80）では、系が確率的摂動に対して極めて感受性を示し、絶滅リスクが増加する。
• カオス的状態における捕食者個体数の最大値と最小値は、遅れの変化に対して驚くほど感受性が低く、極端なダイナミクスにおける頑健性を示している。