[論文レビュー] Chaotic dynamics in the Volterra predator-prey model via linked twist maps

Marina Pireddu, Fabio Zanolin|ArXiv.org|May 28, 2008

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 23被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、連結ねじれ写像を用いて、周期的に入力が加えられたボルタッラの捕食者-被捕食者モデルにおけるカオス的ダイナミクスの存在を確立し、Poincaré帰還写像の幾何学的解析を通じて無限個の周期的解とトポロジカル・ホースシューを証明する。主な貢献は、周期的採取の下でカオス的挙動に類する振る舞いの厳密な証明であり、トポロジカル手法を用いて古典的ボルタッラ力学を拡張するものである。

ABSTRACT

We prove the existence of infinitely many periodic solutions and complicated dynamics, due to the presence of a topological horseshoe, for the classical Volterra predator--prey model with a periodic harvesting. The proof relies on some recent results about chaotic planar maps combined with the study of geometric features which are typical of linked twist maps.

研究の動機と目的

• 周期的に入力が加えられたボルタッラの捕食者-被捕食者系に、複雑でカオス的なダイナミクスが存在するかを調査すること。
• 元来保存的で周期的な古典的ボルタッラ力学を、採取による周期的摂動の下で拡張すること。
• 幾何学的およびトポロジカル手法を用いて、無限個の周期的解およびトポロジカル・ホースシューの存在を確立すること。
• 最近の平面的カオス写像および連結ねじれ写像理論の結果を、古典的生態学的モデルに適用すること。

提案手法

• 周期的に入力が加えられたボルタッラ系のPoincaré帰還写像を用いて、長期的ダイナミクスを分析する。
• 連結ねじれ写像理論を適用し、アニュラ領域の幾何的ねじれを用いてカオス的挙動を検出する。
• 連続な全射 g を用いて、compact な不変集合 Λ ⊆ 𝒫 を二方向の m-シフトに準同型に写像する。
• トポロジカル・ホースシュー理論を用いて、無限個の周期的軌道およびカオス的ダイナミクスの存在を証明する。
• 写像 g: 𝒫 → Σ_m を用いて、記号的ダイナミクスを位相空間上に写像し、シフト空間における周期的系列が系の周期的点に引き戻されることを保証する。
• Poincaré写像の単射性および連続性、および位相空間内に存在する不変なコンパクト集合の不交和構造に依拠して、記号的ダイナミクスを定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 元来保存的であるにもかかわらず、周期的に入力が加えられたボルタッラの捕食者-被捕食者モデルは、カオス的ダイナミクスを示すのか？
• RQ2 周期的採取の下でも、無限個の周期的解の存在を厳密に証明できるのか？
• RQ3 連結ねじれ写像の幾何的特徴が、平面的ODEにおけるトポロジカル・ホースシューの検出にどの程度寄与するのか？
• RQ4 入力が加えられた系のPoincaré写像は、記号的ダイナミクスを通じてどのようにカオス的挙動を反映するのか？
• RQ5 系のダイナミクスとシフト空間との間の準同型関係を確立することで、カオス的挙動に類するダイナミクスを確認できるのか？

主な発見

• 周期的に入力が加えられたボルタッラモデルに、トポロジカル・ホースシューの存在により、無限個の周期的解が存在する。
• Poincaré写像と二方向の m-シフトとの間の準同型関係を介して、トポロジカル・ホースシューが確立され、カオス的ダイナミクスが確認される。
• Poincaré写像が連続な全射 g を通じて、m 個の記号におけるベルヌーイシフトに準同型であることが示された。
• Poincaré写像の周期的点の集合は、不変コンパクト集合 Λ 内で稠密である。これはカオス的系の特徴的性質である。
• シフト空間 Σ_m 内の任意の k-周期的系列に対して、g による逆像には、系の少なくとも1つの k-周期的点が含まれる。
• 証明は、連結ねじれ写像の幾何的ねじれ性質および位相空間内に存在する不交和な不変コンパクト集合の存在に依拠している。