[論文レビュー] Chaotic Dynamics of a Nonlinear Ring Cavity Driven by an External Multi-frequency Signal

A. A. Balyakin, Nikita M. Ryskin|ArXiv.org|Mar 8, 2005

Chaos control and synchronization参考文献 17被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、多周波数外部信号で駆動される非線形リングキャビティをモデル化するため、古典的なイケダ写像を拡張し、二重周波数駆動に対する結合されたイケダ写像を導出している。弱い二次信号がカオス的ダイナミクスを効果的に制御可能であることを示しており、フェイゲンバウム周期二分岐、ラッセル＝タケンス準周期的ルート、クラシス誘発遷移を含む多様なカオスへの分岐ルートが明らかになった。これは、動的状態の操作による光デバイス応用の可能性を示唆している。

ABSTRACT

Complex dynamics of a ring cavity filled by the medium with cubic phase non-linearity driven by an external multi-frequency signal is studied. To describe the dynamics of envelope amplitudes the system of coupled Ikeda maps was derived. The results of numerical simulations in the case of two-frequency external signal are presented. Complex dynamics observed in these numerical simulations is expected to be peculiar for other physical systems that can be treated as nonlinear resonators driven by an external force.

研究の動機と目的

• 主信号による駆動を受ける非線形リングキャビティにおけるカオス的ダイナミクスを、特に二重周波数駆動の下で調査すること。
• 弱い二次信号が主系のダイナミクスに与える影響を調査し、カオスの抑制または誘発が可能かどうかを検討すること。
• カオスへの至る分岐系列を解析し、結合系における吸引子構造を特徴づけること。
• イケダ写像フレームワークを単一周波数駆動にとどまらず、より豊かな非線形的挙動にまで拡張すること。
• 周期的・準周期的・カオス的状態間の制御可能な遷移を分析することで、このような系が光論理素子として実用可能かどうかを評価すること。

提案手法

• 非線形媒質における三次位相非線形性を有する多周波数パルス列に対して、ハミルトニアン形式を用いて結合イケダ写像を導出する。
• 平面波近似および遅れ包絡近似を適用し、複素振幅に関する結合非線形差分方程式系に簡略化する。
• 非共鳴周波数を用いた四波混合モデルを採用することで、三波共鳴相互作用を回避し、結合非線形シュレーディンガー方程式の導出を可能にする。
• 周期的再循環と時間遅延フィードバックを仮定することで、偏微分方程式系を離散写像フレームワークに変換し、結合イケダ写像方程式に到達する。
• 入力振幅と相対位相のパrameter空間において、固定点および周期的軌道の安定性解析を実施する。
• 周期的・準周期的・カオス的領域への遷移を探索するため、分岐ダイアグラム（Re(A₁ⁿ) 対 A₀₁）を用いた数値シミュレーションを実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 主信号に加えて弱い第二周波数成分を導入した場合、非線形リングキャビティのカオス的ダイナミクスはどのように変化するか？
• RQ2 二重周波数駆動を受ける非線形リングキャビティにおいて、カオスへの至る分岐系列の種類は何か？また、それらは単一周波数イケダ系とはどのように異なるか？
• RQ3 二次信号を用いてカオスの発生時期や性質を制御可能か。具体的には、周期的ウィンドウの抑制または誘発が可能かどうか？
• RQ4 二つの入力周波数間の相対位相が、吸引子構造および遷移経路に果たす役割は何か？
• RQ5 多周波数駆動系において、クラシスイベントやハード遷移によるカオス的吸引子間の遷移はどのように現れるか？

主な発見

• フェイゲンバウム周期二分岐、ラッセル＝タケンス準周期的ルート、クラシス誘発遷移を含む、多様なカオスへの分岐系列が観測された。
• A₀₁ ≈ 1.2 で周期二分岐の連鎖が発生し、フェイゲンバウム状況に従ってカオスに至る。その後、A₀₁ ≈ 1.63 でクラシス誘発遷移が観測された。
• A₀₁ ≈ 0.8–0.9 でホップ分岐を介したソフトな準周期的運動が出現し、相対位相 φ₁ に依存して A₀₁ ≈ 1.1–1.2 で消失した。
• A₀₁ ≈ 2.25 (φ₁ = π/6)、A₀₁ ≈ 2.3 (φ₁ = 3π/2)、A₀₁ ≈ 2.3 (φ₁ = π) でイケダ吸引子へのハード遷移が観測され、最終的なカオス的状態の頑健性が示された。
• 準周期領域内にさまざまな周期の鎖合ウィンドウが観測され、周期的状態への回復時には逆周期二分岐系列が観測された。
• 二次信号は有効な制御パラメータとして機能する。その振幅と位相を変更することで、カオスの抑制や不安定性の誘発が可能となり、動的状態切り替えが実現可能である。