[論文レビュー] Chaotic Hedging with Iterated Integrals and Neural Networks

Ariel Neufeld, Philipp Schmocker|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2022

Model Reduction and Neural Networks被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、線形のドリフトおよび拡散係数を有する拡散過程の繰り返し積分の切断級数として、任意の$L^p$-可積分な金融デリバティブを表現する、画期的な「カオス的ヘッジ」フレームワークを導入する。機械学習の枠組みにおいて、ランダムなニューラルネットワークを用いて被積分関数を学習することで、任意の$L^p$-精度で効率的かつ閉形式でヘッジ戦略を計算可能とし、不完全市場におけるデリバティブ価格設定およびヘッジのための高速でスケーラブルなアルゴリズムを提供する。

ABSTRACT

In this paper, we derive an $L^p$-chaos expansion based on iterated Stratonovich integrals with respect to a given exponentially integrable continuous semimartingale. By omitting the orthogonality of the expansion, we show that every $p$-integrable functional, $p \in [1,\infty)$, can be approximated by a finite sum of iterated Stratonovich integrals. Using (possibly random) neural networks as integrands, we therefere obtain universal approximation results for $p$-integrable financial derivatives in the $L^p$-sense. Moreover, we can approximately solve the $L^p$-hedging problem (coinciding for $p = 2$ with the quadratic hedging problem), where the approximating hedging strategy can be computed in closed form within short runtime.

研究の動機と目的

• 一般の線形ドリフトおよび拡散係数を有する拡散過程へのウィener-Itoカオス分解の拡張。アフィンおよび多項式拡散過程を含む。
• 切断された繰り返し積分展開とランダムニューラルネットワークを用いた、金融デリバティブの普遍的近似法の開発。
• 不完全市場における任意の$L^p$-可積分デリバティブに対する計算効率的で閉形式のヘッジ戦略の提供。
• カオス展開とニューラルネットワーク学習による近似の$L^p$-収束の理論的基盤の確立。
• 確率的解析と機械学習を組み合わせることで、頑健なデリバティブレプリケーションおよびヘッジの可能性の実証。

提案手法

• 本稿は、時間・空間の調和ヘルメート・ポリノミアルを用いた非直交カオス展開を構築し、線形ドリフトおよび拡散係数を有する拡散過程の$L^p$-可積分関数的を繰り返し積分の和として表現する。
• 無限大のカオス展開を、$N$次の繰り返し積分までの有限和に切断し、$L^p$-近似誤差が$\varepsilon$未満となるように保証する。
• 繰り返し積分内の決定的被積分関数を、学習可能なパラメータを有するランダムニューラルネットワーク($\varphi_n$)に置き換え、パラメトリック近似を可能にする。
• 機械学習の文脈において、二乗損失関数の最小化によりニューラルネットワークのパラメータを学習させ、$L^p$-意味での収束を保証する。
• ヘルメート多項式および二次変動の構造を活用し、伊藤の公式とマルティンゲール表現を用いて、近似されたデリバティブのヘッジ戦略を閉形式で導出する。
• 確率積分の$L^p$-完備性と、$L^{np}$-ノルムにおけるランダムニューラルネットワークの普遍的近似定理を用いて、手法の妥当性を理論的に検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非退化で線形成長を示すドリフトおよび拡散係数を有する拡散過程へのウィーナー＝アイートカオス分解の一般化は可能か？
• RQ2 任意の$L^p$-可積分関数的は、直交性を要件とせず、繰り返し積分の和として表現可能か？
• RQ3 ランダムニューラルネットワークは、繰り返し積分展開内の被積分関数を$L^p$-精度で普遍的に近似可能か？
• RQ4 得られた近似デリバティブは、カオス展開から導出された閉形式戦略でヘッジ可能か？
• RQ5 被積分関数の機械学習ベースの近似は、真のデリバティブペイオフへの$L^p$-収束をもたらすか？

主な発見

• 線形ドリフトおよび拡散係数を有する拡散過程の任意の$L^p$-可積分関数的は、繰り返し積分の和として表現可能であり、古典的ウィーナー＝アイートカオス分解をブラウン運動を超えて拡張する。
• 提案されたカオス展開は非直交的であるが、切断により任意の精度でその関数的を$L^p$-近似可能である。
• ランダムニューラルネットワークは、$L^{np}$-ノルムにおいてカオス展開内の被積分関数を普遍的に近似可能であり、全体の近似の$L^p$-収束を保証する。
• 近似されたデリバティブのヘッジ戦略は、確実に閉形式で計算可能であり、確率積分過程のヘルメート多項式に伊藤の公式を適用することで導出される。
• カオス展開の切断と被積分関数のニューラルネットワーク近似を組み合わせることで、$L^p$-誤差を$\varepsilon$未満に抑えることが可能である。
• このフレームワークは、収束が保証された高速でスケーラブルかつ数値的に効率的な不完全市場における金融デリバティブのレプリケーションを可能にする。