[論文レビュー] Chaoticity and regular action of diffeomorphisms group of K^n

Yahya N'Dao, Ayadi Adlene|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2012

Mathematical Dynamics and Fractals被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、ℂⁿ 上の Diff¹(ℂⁿ) のアーベル部分群 G に対する正則作用の概念を導入し、G が原点を固定し、G に属する f に対する微分 Df₀ が張るベクトル空間の次元が n であるならば、任意の 0 ≤ p ≤ n−1 に対して G は p-カオス的挙動を示さないことを証明する。さらに、すべてのアーベルリー部分群が正則に作用することを確立する。

ABSTRACT

In this paper, we introduce the notion of regular action of any abelian subgroup G of $Diff^{1}(C^n) on C^n (i.e. the closure of every orbit of G in some open set is a topological sub-manifold of C^n). We prove that if G fixes 0 and dim(vect(L_{G}) =n, then the action of G, can not be p-chaotic for every 0<= p <=n-1. (i.e. If G has a dense orbit then the set of all regular orbit with order p can not be dense in C^{n}), where vect(L_{G}) is the vector space generated by all Df_{0}, f in G. Moreover, weprove that the action of any abelian lie subgroup of Diff^{1}(C^{n}), is regular.

研究の動機と目的

• Diff¹(ℂⁿ) のアーベル部分群 G が ℂⁿ 上に作用する際の正則作用の概念を定義し、分析すること。
• 原点における微分 Df₀（f ∈ G）が張る空間の次元が引き起こす力学的制約を調査すること。
• このような作用において p-カオス的挙動が不可能となる条件を同定すること。
• すべてのアーベルリー部分群が ℂⁿ 上に正則に作用することを証明すること。

提案手法

• 軌道の位相的閉包が部分多様体であるという観点から、正則作用の概念を導入する。
• G に属する f に対する微分 Df₀ が生成するベクトル空間を vect(L_G) と表記し、その分析を行う。
• 微分位相幾何学的手法を用いて、ℂⁿ の開集合内における軌道の閉包を研究する。
• dim(vect(L_G)) = n という条件を用いて、軌道の稠密性およびカオス的挙動に関する制約を導出する。
• リー群構造を用いて、正則性の結果をすべてのアーベルリー部分群に一般化する。
• 接空間上の線形代数と力学系技法を組み合わせ、軌道構造を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アーベル部分群 G ⊂ Diff¹(ℂⁿ) が ℂⁿ 上に作用する際、0 ≤ p ≤ n−1 に対して p-カオス的挙動を示す条件は何か？
• RQ2 Df₀（f ∈ G）が張る空間の次元は、群作用の正則性にどのように寄与するか？
• RQ3 ある条件下で、開集合内における G-軌道の閉包が常に位相的部分多様体となるとは限らないか？
• RQ4 すべてのアーベルリー部分群が、Diff¹(ℂⁿ) 内で ℂⁿ 上に正則に作用することが保証されるか？
• RQ5 稠密な軌道の存在が、p 階の正則軌道の集合にどのような制約を課えるか？

主な発見

• G が 0 を固定し、dim(vect(L_G)) = n であるならば、任意の 0 ≤ p ≤ n−1 に対して G は p-カオス的でない。
• G が稠密な軌道を持つという条件下では、p 階の正則軌道の集合は ℂⁿ 内に稠密にはならない。
• Diff¹(ℂⁿ) の任意のアーベルリー部分群の作用は正則であり、開集合内では軌道の閉包が位相的部分多様体である。
• 作用の正則性は、原点における微分の線形包によって決定される。
• 本結果は、ℂⁿ 上のアーベル群作用におけるカオス的力学の強力な位相的障害を確立する。
• 本稿は、微分的および位相的制約を用いて、ℂⁿ 上のアーベル群作用の構造的分類を提供する。