[論文レビュー] Chapman-Enskog Analysis of Finite Volume Lattice Boltzmann Schemes

Nima H. Siboni, Dierk Raabe+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2014

Lattice Boltzmann Simulation Studies参考文献 48被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、2次元における有限体積格子ボルツマン法スキームに対する体系的なチャップマン＝エンスコーギ分析を提示し、異なるフラックス評価スキームにおける格子ボルツマン緩和時間と流体の運動粘性係数の関係を導出する。この分析により、定常上流スキームが人工的数値粘性を導入するのに対し、中央および線形上流スキームはこの誤差を回避でき、ナビエ＝ストークス方程式の物理的粘性係数スケーリングと一貫した正確な回復が可能であることが示された。

ABSTRACT

In this paper, we provide a systematic analysis of some finite volume lattice Boltzmann schemes in two dimensions. A complete iteration cycle in time evolution of discretized distribution functions is formally divided into collision and propagation (streaming) steps. Considering mass and momentum conserving properties of the collision step, it becomes obvious that changes in the momentum of finite volume cells is just due to the propagation step. Details of the propagation step are discussed for different approximate schemes for the evaluation of fluxes at the boundaries of the finite volume cells. Moreover, a full Chapman-Enskog analysis is conducted allowing to recover the Navier-Stokes equation. As an important result of this analysis, the relation between the lattice Boltzmann relaxation time and the kinematic viscosity of the fluid is derived for each approximate flux evaluation scheme. In particular, it is found that the constant upwind scheme leads to a positive numerical viscosity while the central scheme as well as the linear upwind scheme are free of this artifact.

研究の動機と目的

• 広く用いられているが、包括的な理論的分析が不足している有限体積格子ボルツマン法の体系的解析フレームワークを提供すること。
• 有限体積LBMにおける異なるフラックス評価スキームが、特に粘性係数に及ぼすマクロな流体挙動への影響を調査すること。
• チャップマン＝エンスコーギ展開を用いて、さまざまなスキームにおける格子ボルツマン緩和時間の有効運動粘性係数を導出すること。
• 上流型スキームにおける数値的粘性の原因を明確にし、物理的粘性と区別すること。
• 多スケール漸近解析に基づき、有限体積LBMがナビエ＝ストークス方程式と一貫しているかを検証すること。

提案手法

• 分布関数の時間発展を衝突と伝播（ストリーミング）のステップに分解し、衝突ステップで質量および運動量保存則を強制する。
• 格子ノードの周囲に有限体積セルを定義し、中央、線形上流、定常上流の3種類の近似スキームを用いてセル境界でのフラックスを計算する。
• 多スケールチャップマン＝エンスコーギ展開を適用し、速い（衝突）と遅い（マクロ）時間スケールを分離するための小さなパラメータεを導入する。
• 分布関数を F_i = F_i^0 + εF_i^1 + ε²F_i^2 + ... と展開し、εの各次数ごとに方程式を順次解き、マクロ方程式を導出する。
• 非圧縮流体の極限においてナビエ＝ストークス方程式が回復され、粘性項は展開の2次項から導出される。
• 導出された粘性項と標準的なナビエ＝ストークス形式を比較することで、各スキームにおけるτとμの明示的関係式を有効粘性として得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限体積格子ボルツマン法における異なるフラックス評価スキームが、シミュレートされる流体の有効粘性係数にどのように影響を与えるか？
• RQ2 有限体積スキームにおける格子ボルツマン緩和時間τと運動粘性係数νの関係は何か？
• RQ3 なぜ定常上流スキームが中央または線形上流スキームとは異なり、追加の数値的粘性を導入するのか？
• RQ4 チャップマン＝エンスコーギ解析により、非一様なフラックス近似を伴う有限体積LBMにおいても、ナビエ＝ストークス方程式を一貫して回復できるか？
• RQ5 定常上流スキームにおける余分な粘性項の起源は何か？また、物理的粘性係数にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 定常上流スキームは、1/2に比例する追加の数値的粘性項を導入し、有効粘性係数が μ = ρc_s²(τ + 1/2) と物理的粘性係数を上回る。
• 中央および線形上流スキームは、この不自然な粘性を導入せず、物理的粘性係数 μ = ρc_s²τ を明確に回復する。
• 2次チャップマン＝エンスコーギ展開により、中央および線形上流スキームにおける粘性項が、衝突および伝播寄与から生じ、標準的なナビエ＝ストークス形式と一貫していることが示された。
• 定常上流スキームにおける粘性項は、フラックス近似の2次項に起因し、特に ∂²F₀/∂x² および ∂²F₀/∂y² 項に由来する。
• 解析により、中央および線形上流スキームが人工的数値的粘性を有さないことが確認され、物理的流体動力学のシミュレーションにおいてより正確であることが示された。
• 導出により、各フラックス評価法における格子ボルツマン緩和時間τと運動粘性係数νとの明確な解析的関係が確立され、適切なパrameter キャリブレーションが可能になった。