[論文レビュー] Character codegrees of maximal class p-groups

Sarah Croome, Mark L. Lewis|arXiv (Cornell University)|Sep 20, 2018

Finite Group Theory Research参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、最大クラス $p$-群における既約指標のコード次数について調査し、特定の条件下——例えば、通常単項的であるか、指標次数が少ない場合——において、これらのコード次数が $p$ の連続するべき乗であることを証明している。主な結果として、$p$-群のコード次数が $p^0$ から $p^{n-1}$ までのすべての $p$ のべき乗を含むならば、その群はアーベル的巡回群のクラス 2 であるか、最大クラスで正確に二つの指標次数を持つ必要があることが示された。

ABSTRACT

Let $G$ be a $p$-group and let $χ$ be an irreducible character of $G$. The codegree of $χ$ is given by $|G: ext{ker}(χ)|/χ(1)$. If $G$ is a maximal class $p$-group that is normally monomial or has at most three character degrees then the codegrees of $G$ are consecutive powers of $p$. If $|G|=p^n$ and $G$ has consecutive $p$-power codegrees up to $p^{n-1}$ then the nilpotence class of $G$ is at most 2 or $G$ has maximal class.

研究の動機と目的

• 指標のコード次数が完全な連続する $p$-べきの集合をなす最大クラス $p$-群の構造を特定すること。
• 最大クラス $p$-群のコード次数が常に $p$ の連続するべき乗であるかどうかを、特に冪零クラスと指標次数集合の関係において調査すること。
• 通常単項的およびメタアーベル構造がコード次数集合を制約する役割を明らかにすること。
• 位数 $p^n$ の $p$-群において、$p$-べきの全範囲 $p^0$ から $p^{n-1}$ がコード次数として現れるための必要十分条件を確立すること。

提案手法

• 既約指標 $\chi$ のコード次数を $\text{cod}(\chi) = |G:\ker(\chi)| / \chi(1)$ と定義し、すべてのこのようなコード次数の集合 $\text{cod}(G)$ を研究する。
• 通常単項的 $p$-群に対して、商群 $G/Z$ における帰納法を用い、通常単項的群の商が再び通常単項的であるという事実を活用する。
• 伊藤の定理および指標の誘導に関する結果を用いて、$p$-群における忠実な既約指標とその次数を分析する。
• 上部および下部中心列を用いて冪零クラスを分析し、指標次数およびコード次数構造と関連付ける。
• 既知の結果——例えば $\text{cd}(G) = \{1,p\}$ を持つ $p$-群——を活用し、最大コード次数集合を持つ群を分類する。
• 商群の分析と指標次数の上限を用いて、$p^4 \in \text{cod}(G)$ が最大クラス $p$-群で $|G| \geq p^6$ のとき成り立つことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最大クラス $p$-群がすべての $p$ の連続するべき乗をコード次数として持つための条件は何か？
• RQ2 指標次数の数と最大クラス $p$-群におけるコード次数構造の関係は何か？
• RQ3 最大クラス $p$-群のコード次数が、期待される範囲内での $p^k$ を含まないことがあるか？ もしそうなら、どのような条件下でそうなるか？
• RQ4 通常単項的性質が最大クラス $p$-群のコード次数集合をどのように制限するか？
• RQ5 コード次数が $p^0$ から $p^{n-1}$ までのすべての $p$-べきをカバーする $p$-群の構造的特徴づけは可能か？

主な発見

• 位数 $p^n$ の $p$-群 $G$ に対して、$\text{cod}(G) = \{p^i \mid 0 \leq i \leq n-1\}$ であるための必要十分条件は、$G$ が $\mathbb{Z}_{p^{n-1}} \times \mathbb{Z}_p$ に同型であるか、$n \geq 4$ であるクラス 2 群であるか、正確に二つの指標次数を持つ最大クラス群であることである。
• 指標次数集合が $\text{cd}(G) = \{1, p, p^b\}$ である最大クラス $p$-群に対して、コード次数は $\{p^i \mid 0 \leq i \leq c\}$ の形を取り、$n - b \leq c \leq n - 2$ を満たすある $c$ が存在する。
• メタアーベルな最大クラス $p$-群では、コード次数は $p$ の連続するべき乗であり、最大コード次数は $p^{n-1}$ または $p^{n-2}$ である。
• 位数 $p^n$ の通常単項的で最大クラスの $p$-群 $G$ に対して、コード次数は $\{p^i \mid 0 \leq i \leq c\}$ の形であり、$c \geq n - b$ を満たす。ここで $b = \log_p(b(G))$ であり、$b(G)$ は最大の指標次数を表す。
• $|G| \geq p^6$ ならば、任意の最大クラス $p$-群 $G$ に対して $p^4 \in \text{cod}(G)$ が成り立ち、この上限は鋭い。
• 位数 $p^5$ の最大クラス $p$-群（例：$i=28,29,30$ の SmallGroup(3^5,i)）においては $p^4 \notin \text{cod}(G)$ となる例が存在するため、$p^4$ 条件は $p^6$ 未満では保証されない。