[論文レビュー] Character formulae in category $\mathcal O$ for exceptional Lie superalgebras $D(2|1;ζ)$

Shun‐Jen Cheng, Weiqiang Wang|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 11被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、例外的リーハイペル代数 $D(2|1;\theta)$ の BGG カテゴリ $\mathcal{O}$ における非可約表現の明示的特徴式を、ティルティングおよびプロジェクティブ・モジュールのヴェルマ・フラグ多重度を用いて確立する。すべての整数重みにおける $\mathcal{O}$ のヴェルマ・モジュールの合成因子の完全分類を提供し、複素数パラメータ $\zeta$ 全体にわたってこのクラスのハイペル代数における非可約特徴式問題を解決する。主たる貢献は、有理数および無理数の両方の $\zeta$ に対して有効な、移動ファンクターとヴェルマ・フラグ解析を用いたティルティング・モジュールの体系的構成である。非負整数 $k \in \mathbb{Z}_{\geq 0}$ でパrametrizedされたブロックにおいて明示的な公式が導出される。

ABSTRACT

We establish character formulae for representations of the one-parameter family of simple Lie superalgebras $D(2|1;ζ)$. We provide a complete description of the Verma flag multiplicities of the tilting modules and the projective modules in the BGG category $\mathcal O$ of $D(2|1;ζ)$-modules of integral weights, for any complex parameter $ζ$. The composition factors of all Verma modules in $\mathcal O$ are then obtained.

研究の動機と目的

• 例外的リーハイペル代数 $D(2|1;\zeta)$ の BGG カテゴリ $\mathcal{O}$ における整数重みに対して、非可約特徴式問題を解くこと。
• 有理数でないか、または $\mathbb{Q} \setminus \{0,-1\}$ に属する $\zeta$ に応じて、$\mathcal{O}$ のすべての非典型的ブロックにおける単純対象およびヴェルマ・フラグ多重度を分類すること。
• すべてのヴェルマ・モジュールの合成因子に対する明示的公式を提供し、これにより非可約特徴式を特定すること。
• 反ドミナント順序において、移動ファンクターとヴェルマ・フラグ解析を用いたティルティング・モジュールの体系的帰納的構成を確立すること。
• $\zeta = 1$ のとき、$\mathcal{B}_1$ においてプロジェクティブ・モジュールとティルティング・モジュールが一致する条件を示し、明示的同型写像を構成すること。

提案手法

• 既知のティルティング・モジュール $T_\mu$ を移動ファンクター $\mathcal{E}$ で写像し、制御されたヴェルマ・フラグを持つモジュール $\mathcal{E}T_\mu$ を得る。
• ヴェルマ・モジュール $M_\lambda$ が多重度 1 で現れ、他のすべてのヴェルマ・モジュール $\nu$ がブリュア順序で $\nu \prec \lambda$ を満たすような、分解不能なモジュール $T_\lambda$ としてティルティング・モジュール $T_\lambda$ を構成する。
• $\mathcal{E}T_\mu$ の分解不能性（1 箇所を除く）を検証し、これが望ましいティルティング・モジュール $T\lambda$ であることを確認する。
• $\zeta \in \mathbb{Q}_{\geq 2}$ の場合のブロック $\mathcal{B}_k$ と $\zeta = 1$ の場合の $\mathcal{B}_1$ を、非負整数 $k$ でパラメータ化する。
• $\zeta = 1$ のとき、$\mathcal{B}_1$ におけるプロジェクティブ・モジュールのヴェルマ・フラグ多重度を、フラグ構造の一致を用いて明示的に計算する。
• 既知のティルティング／プロジェクティブ・モジュールとの比較と $\mathcal{O}$ における標準的特徴式理論の適用により、ヴェルマ・モジュールの合成因子の公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 整数重みを持つ $D(2|1;\zeta)$ の BGG カテゴリ $\mathcal{O}$ におけるティルティングおよびプロジェクティブ・モジュールのヴェルマ・フラグ多重度は何か？
• RQ2 $\zeta \in \mathbb{Q}_{\geq 2}$ のとき、$\mathcal{O}$ の各非典型的ブロック $\mathcal{B}_k$ における単純対象はどのようにパラメータ化されるか？
• RQ3 $\zeta = 1$ のとき、$\mathcal{B}_1$ におけるヴェルマ・モジュールの合成因子の構造は何か？
• RQ4 $\zeta = 1$ のとき、$\mathcal{B}_1$ においてプロジェクティブ・モジュールとティルティング・モジュールが一致する条件は何か？
• RQ5 $\zeta \notin \mathbb{Q}$ と $\zeta \in \mathbb{Q}_{\geq 2}$ の場合の $D(2|1;\zeta)$ の特徴式はどのように異なるか？

主な発見

• $\zeta \notin \mathbb{Q}$ のとき、非典型的ブロックはちょうど一つ、すなわち主ブロック $\mathcal{B}_0$ であり、$\mathcal{B}_0$ 内のすべての単純対象が分類されている。
• $\zeta \in \mathbb{Q}_{\geq 2}$ のとき、非典型的ブロック $\mathcal{B}_k$ は $k \in \mathbb{Z}_{\geq 0}$ でパラメータ化され、各 $\mathcal{B}_k$ 内の単純対象が完全に分類されている。
• $\zeta = 1$ のとき、$\mathcal{B}_1$ におけるプロジェクティブ・モジュール $P_0^{\circ++}$、$P_0^{\circ+-}$、$P_0^{\circ-+}$、$P_0^{\circ--}$ のヴェルマ・フラグ多重度が明示的に計算され、フラグに最大 10 個のヴェルマ・モジュールが含まれる。
• $\zeta = 1$ のとき、ティルティング・モジュール $T_{-1}^{+\circ+}$、$T_{-1}^{+\circ-}$、$T_{-1}^{-\circ+}$、$T_{-1}^{-\circ-}$ のヴェルマ・フラグ多重度は 1 から 6 の範囲にわたる。
• $\mathcal{B}_1$ において $\zeta = 1$ のとき、$M_0^{\circ--}$ の合成因子には 5 つの異なる単純モジュール $L_0^{\circ--}$、$L_1^{--\circ}$、$L_2^{---}$、$L_{-1}^{-\circ-}$、$L_{-2}^{---}$ が含まれる。
• $\zeta = 1$ のとき、$\mathcal{B}_1$ において $T_{-1}^{+\circ+} \cong P_{-1}^{-\circ-}$、$T_1^{++\circ} \cong P_1^{--\circ}$、および $T_n^{+++} \cong P_n^{---}$ がすべての $n \in \mathbb{Z} \setminus \{0, \pm1\}$ に対して成り立ち、$\mathcal{B}_1$ にそれ以外のプロジェクティブ・ティルティング・モジュールは存在しない。