[論文レビュー] Characterisation for Exponential Stability of port-Hamiltonian Systems

Sascha Trostorff, Marcus Waurick|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2022

Control and Stability of Dynamical Systems被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、ハミルトニアン密度の有界変動性などの強い正則性仮定に依存しないように、非-autonomous ODE族の基本解に対する一様有界性条件を導入することで、ポート・ハミルトニアン系の指数的安定性の新たな特徴づけを提示する。主要な結果として、緩い条件下でも指数的安定性が保証され、既存の基準を一般化し、$L_∞$ に属するハミルトニアンに対しても安定性解析が可能になる。

ABSTRACT

Given an energy-dissipating port-Hamiltonian system, we characterise the exponential decay of the energy via the model ingredients under mild conditions on the Hamiltonian density $\mathcal{H}$. In passing, we obtain generalisations for sufficient criteria in the literature by making regularity requirements for the Hamiltonian density largely obsolete. The key assumption for the characterisation (and thus the sufficient critera) to work is a uniform bound for a family of fundamental solutions for some non-autonomous, finite-dimensional ODEs. Regularity conditions on $\mathcal{H}$ for previously known criteria such as bounded variation are shown to imply the key assumption. Exponentially stable port-Hamiltonian systems with irregular $L_{\infty}$-densities are provided.

研究の動機と目的

• ハミルトニアン密度 $\mathcal{H}$ に対して強い正則性条件を要しない、ポート・ハミルトニアン系の指数的安定性の特徴づけを目的とする。
• 正則性要件をほとんど不要にするように、既存の指数的安定性の十分条件を一般化することを目的とする。
• エネルギーの指数的減衰を保証する鍵となる仮定である、非-autonomous ODE系の基本解の一様有界性を特定することを目的とする。
• ハミルトニアン密度 $\mathcal{H}$ が $L_\infty$ に属する場合でさえ、指数的安定な系が存在することを示すことにより、材料パラメータの正則性要件を大幅に緩和することを目的とする。

提案手法

• 初期条件 $ \Phi_t(a) = I_d $ を持つ、$ u'(x) = -\mathrm{i}t P_1^{-1}(\mathcal{H}(x)^{-1} + P_0)u(x) $ で定義される非-autonomous ODE系を導入する。
• 基本解 $ \Phi_t $ を定義し、$ t \in \mathbb{R} $ に対してその一様有界性を安定性のための主要仮定とする。
• $ C_0 $-半群理論と Lumer–Phillips の定理を用いて、生成作用素 $ \mathcal{A} $ を通じて指数的安定性を特徴づける。
• 一般化されたグローヴァル型不等式（定理 6.12）を適用し、ODE の解の成長を推定し、$ \mathcal{H}^{-1} $ の全変動と関連付ける。
• 低正則性の $ \mathcal{H} $ を取り扱うために、$ \mathcal{O} = \mathcal{H}^{-1} $ の分布的微分 $ \mathrm{D}_x \mathcal{O} $ の概念を用いる。
• 有界変動性を仮定した場合、$ \mathcal{H}^{-1} $ が有界変動であると、主要な一様有界性条件が満たされることを示し、従来の結果を回復・拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハミルトニアン密度 $ \mathcal{H} $ に対してどのような条件下でポート・ハミルトニアン系が指数的安定性を示すか？
• RQ2 ハミルトニアン $ \mathcal{H} $ に対して有界変動性やリプシッツ連続性の要件を安定性基準で緩和できるか？
• RQ3 ハミルトニアンの正則性に依存しない、指数的安定性の特徴づけは存在するか？
• RQ4 非-autonomous ODE系の基本解の一様有界性が、指数的安定性の十分かつ特徴づけ可能な条件として機能するか？
• RQ5 ハミルトニアン $ \mathcal{H} \in L_\infty $ の場合、連続性や有界変動性がなくても指数的安定性を確立できるか？

主な発見

• ポート・ハミルトニアン系の指数的安定性は、関連する非-autonomous ODEの基本解族 $ \Phi_t $ の一様有界性によって特徴づけられる。
• 主要仮定である $ \Phi_t $ の一様有界性は、$ \mathcal{H}^{-1} $ の有界変動性によって保証され、従来の結果が一般化される。
• 本稿では、$ \mathcal{H} \in L_\infty $ であるが正則性が弱いポート・ハミルトニアン系の指数的安定な例を構成し、正則性仮定を著しく弱める可能性を示している。
• 証明技法は、分布的微分の定式化と、解の成長を制御する洗練されたグローヴァル型不等式に依存している。
• 基本解が一様有界である限り、$ \mathcal{H} $ の具体的な形に依存しない特徴づけが可能である。
• 本結果は、[16] の定理 1.1 を、$ \mathcal{H} $ の有界変動性の必要性を排除し、ODEフローに関するより構造的な条件に置き換えることで拡張している。